6.4. Регулярные и нерегулярные спектры: свойства, связанные с собственными значениями

КАМ-теорема утверждает, что в случае неинтегрируемых гамильтоновых систем с ростом (неинтегрируемого) возмущения все большее и большее число торов разрушается. Движение в сильно неинтегрируемых системах преимущественно хаотическое, и сохраняется лишь небольшое число торов. Для большинства связанных состояний правила ЭБК при таких значениях энергии больше неприменимы; мы уже говорили, что это отмечалось довольно давно Эйнштейном. Однако в полной мере значение обсуждаемых трудностей оценил значительно позже Персиваль [4], который предложил подразделять энергетический спектр связанного состояния в квазиклассическом пределе на две части.

1. Регулярный спектр, соответствующий режиму интегрируемого (регулярного) движения, при котором все состояния могут быть проквантованы в соответствии с правилами ЭБК.

2. Нерегулярный спектр, соответствующий режиму преимущественно хаотического (нерегулярного) движения, при котором правила ЭБК уже неприменимы.

Эти два различных класса спектров могут обладать совершенно разными свойствами, отражая различия классического движения, «лежащего в их основе». Понятие нерегулярного спектра представляет особый интерес, поскольку оно в некотором смысле подразумевает, что в пределе «лежащий в основе» классический хаос будет проявляться в квантовомеханических свойствах системы. Такая возможность даже послужила для некоторых исследователей основанием ввести понятие «квантовый хаос», которое не всегда ассоциируется с пределом Вместе с тем, все обсуждаемое здесь неразрывно связано с квазиклассическим пределом, и любое представление о «квантовом хаосе» предполагает взаимосвязь с классическим хаосом.

Наше обсуждение существенных различий в свойствах регулярных и нерегулярных спектров условно распадается на две части. Первая часть, составляющая содержание настоящего раздела, посвящена в основном свойствам, связанным с собственными значениями; содержание второй части, излагаемой в следующем разделе, составляют главным образом свойства, связанные с собственными векторами (волновыми функциями).

6.4.а. Регулярные и нерегулярные связанные состояния

Принципиальное отличие регулярных и нерегулярных (квазиклассических) состояний заключается в том, что регулярное состояние может быть описано с помощью полного набора «хороших» квантовых чисел где число степеней свободы. Состоянию с квантовыми числами можно, таким образом, поставить в соответствие семейство траекторий на -мерном торе с постоянным действием, задаваемым правилами ЭБК (6.3.10). Следовательно, существует взаимно-однозначное соответствие между регулярным состоянием и классическим тором. В случае состояния с нерегулярным спектром, напротив, не только не существует способа разумно задать «хорошие» квантовые числа, но и представления о взаимном соответствии такого состояния и данной области фазового пространства

ограничиваются лишь тем, что состояние должно «занимать» объем порядка Некоторые авторы тем не менее считают, что в хаотических режимах все же можно, используя определенные методы классической теории возмущений, построить «приближенные торы (в конце концов, разумеется, соответствующие ряды должны в этих режимах расходиться) и использовать для квантования правила ЭБК (см. [16]). В подвергнутых анализу модельных системах полученные таким образом уровни энергии достаточно хорошо согласовывались с точными квантовомеханическими расчетами. Обсуждаемые результаты затрагивают очень важный вопрос, связанный с тем, что рассмотренные системы не содержали достаточно большого числа связанных состояний — ситуация, когда относительно «велико». Понятно, что случай, когда области фазового пространства, занятые хаотическим движением, существенно меньше, чем , т.е. «размера» квантового состояния, не представляет сколь-нибудь существенного интереса с точки зрения квантовой механики. Из сказанного следует, что играет в некотором смысле «сглаживающую» роль, способствуя сохранению торов, которые, вообще говоря, должны разрушаться. Вместе с тем очевидно, что как только становится достаточно мало, такой подход более не применим, и возникает фундаментальная проблема поиска квазиклассических условий квантования для хаотических систем. До настоящего времени не было предложено ни одного «прямого» подхода, но существует «косвенный» метод, основанный на использовании классических периодических траекторий. Этот важный метод будет изложен в контексте «квантовых отображений» в разделе 6.7.

Основываясь на отсутствии «хороших» квантовых чисел в случае нерегулярных состояний, Персиваль [4] пришел к выводу, что регулярные и нерегулярные спектры должны различаться по их вероятностям переходов. Переходы между состояниями регулярного спектра должны характеризоваться строгими правилами отбора; это предполагает, что спектр (в смысле спектроскопически наблюдаемых величин) состоит из небольшого числа интенсивных линий, соответствующих сильно связанным состояниям. С другой стороны предполагается, что состояния нерегулярного (энергетического) спектра будут в одинаковой мере связаны со всеми теми состояниями с близкой энергией, которые соответствуют одним и тем же «хаотическим» областям фазового пространства; таким образом ожидается, что спектр будет состоять из большого числа слабых линий. Пока не известны экспериментальные данные, однозначно подтверждающие существование нерегулярных спектров.