7.2.б. Решение типа бегущей волны

Простой вид решения типа уединенной волны может быть получен следующим образом. Предположим, что решение имеет вид бегущей вправо волны

где Непосредственная подстановка в (7.1.3) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению (штрих означает дифференцирование по

Уравнение, получающееся в результате первого интегрирования по

где постоянная интегрирования, представляет собой о. д. у. для эллиптических функций Вейерштрасса, обсуждавшихся в главе 1. Второе интегрирование дает

где вторая постоянная интегрирования. Уравнение (7.2.12) может быть проинтегрировано в квадратурах; в результате получаем эллиптический интеграл:

Если (7.1.3) определено в неограниченной области и если задать граничные условия при то из (7.2.11) и (7.2.12) следует, что обе константы интегрирования равны нулю. В этом случае (7.2.13) сводится к выражению

которое легко интегрируется и обращается:

С учетом знака решение имеет вид бегущей волны с отрицательной амплитудой (знак мог бы быть положительным, если бы уравнение (7.1.3) имело бы вид которая пропорциональна скорости распространения волны, т. е. большие волны движутся быстрее. Функция в (7.2.15) придает волне форму «бугра, подобного наблюдаемому Расселом [8]. В численных экспериментах Забуского и Крускала [9] также отмечалось, что каждый из членов семейства бегущих волн имеет форму типа Вместе с тем, причины возникновения такого семейства и его устойчивость не могут быть объяснены на основании простого анализа бегущих волн. Требуется гораздо более глубокая теория.