8.1.б. Работа Пенлеве
Хотя подход Ковалевской не был, по-видимому, распространен на какие-либо задачи помимо задачи о волчке, предметом значительной активности математиков конца девятнадцатого столетия явилась классификация обыкновенных дифференциальных уравнений по типам особенностей их решений. Наиболее значительное исследование в этой области принадлежит французскому математику Полю Пенлеве. Следуя более ранним работам Фукса и другим работам по классификации уравнений первого порядка, он проанализировал класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
где 
функция, аналитическая по х и рациональная по у и В рамках этого класса уравнений Пенлеве выделил 50 типов, единственными подвижными особенностями которых являются обыкновенные полюса. Это аналитическое свойство теперь часто называют свойством Пенлеве. Он также показал, что 44 типа из этих 50 могут быть проинтегрированы с использованием «известных» функций (уравнения Риккати, эллиптические функции и т.д.). Оставшиеся шесть типов, называемые уравнениями Пенлеве, не имеют алгебраических интегралов и не могут быть проинтегрированы в квадратурах. Сам Пенлеве нашел лишь первые два типа этих уравнений (которые мы обозначим через 
и 
где а — произвольный параметр. Остальные четыре типа уравнений Пенлеве были найдены его учениками; последний из них, найденный Гамбиером, содержит остальные пять в качестве предельных случаев.
Хотя уравнения Пенлеве могут быть представлены лишь в виде сходящихся локальных разложений, они асимптотически связаны с некоторыми «известными» в анализе функциями. Например, в случае 
так называемое преобразование Бутру
приводит уравнение Пенлеве к виду
представляющему собой в пределе 
частный случай эллиптической функции Вейерштрасса.
Казалось, что работа Пенлеве практически не имеет отношения к физическим задачам, и она быстро затерялась в математической литературе. Но в последнее десятилетие работы Ковалевской, Пенлеве (и других) вновь привлекли к себе значительный интерес, так как оказалось, что их идеи играют основную роль в установлении и объяснении интегрируемости динамических систем. Прежде чем перейти к этому вопросу, мы посвятим следующий раздел краткому обзору соответствующих свойств дифференциальных уравнений в комплексной области.
