Главная > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.1.б. Работа Пенлеве

Хотя подход Ковалевской не был, по-видимому, распространен на какие-либо задачи помимо задачи о волчке, предметом значительной активности математиков конца девятнадцатого столетия явилась классификация обыкновенных дифференциальных уравнений по типам особенностей их решений. Наиболее значительное исследование в этой области принадлежит французскому математику Полю Пенлеве. Следуя более ранним работам Фукса и другим работам по классификации уравнений первого порядка, он проанализировал класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

где функция, аналитическая по х и рациональная по у и В рамках этого класса уравнений Пенлеве выделил 50 типов, единственными подвижными особенностями которых являются обыкновенные полюса. Это аналитическое свойство теперь часто называют свойством Пенлеве. Он также показал, что 44 типа из этих 50 могут быть проинтегрированы с использованием «известных» функций (уравнения Риккати, эллиптические функции и т.д.). Оставшиеся шесть типов, называемые уравнениями Пенлеве, не имеют алгебраических интегралов и не могут быть проинтегрированы в квадратурах. Сам Пенлеве нашел лишь первые два типа этих уравнений (которые мы обозначим через и

где а — произвольный параметр. Остальные четыре типа уравнений Пенлеве были найдены его учениками; последний из них, найденный Гамбиером, содержит остальные пять в качестве предельных случаев.

Хотя уравнения Пенлеве могут быть представлены лишь в виде сходящихся локальных разложений, они асимптотически связаны с некоторыми «известными» в анализе функциями. Например, в случае так называемое преобразование Бутру

приводит уравнение Пенлеве к виду

представляющему собой в пределе частный случай эллиптической функции Вейерштрасса.

Казалось, что работа Пенлеве практически не имеет отношения к физическим задачам, и она быстро затерялась в математической литературе. Но в последнее десятилетие работы Ковалевской, Пенлеве (и других) вновь привлекли к себе значительный интерес, так как оказалось, что их идеи играют основную роль в установлении и объяснении интегрируемости динамических систем. Прежде чем перейти к этому вопросу, мы посвятим следующий раздел краткому обзору соответствующих свойств дифференциальных уравнений в комплексной области.

1
Оглавление
email@scask.ru