6.5.б. функция Вигнера

Было высказано предположение, что с точки зрения возможности сопоставления регулярных и нерегулярных состояний в квазиклассическом приближении подходящей альтернативой для изучения самих волновых функций может оказаться использование функции Вигнера. Она представляет собой квантовый аналог классической плотности фазового пространства и имеет вид

Поведение функции на конкретной фазовой плоскости служит квантовым аналогом поверхности сечения Пуанкаре. Из множества интересных свойств, которыми обладает функция Вигнера, наиболее важными для нашего изложения является тот факт, что ее проекция на координатную плоскость представляет собой квантовую плотность вероятности, т. е.

В случае регулярных состояний квазиклассическое выражение для волновой функции может быть использовано для определения соответствующего чистого состояния функции Вигнера При этом можно показать [24], что в классическом пределе выражение для сводится к

т.е. остается лишь -функция на классическом торе, связанном с состоянием. Как говорилось выше, проекция этого тора на координатную плоскость дает предельное выражение для плотности вероятности. Результат такого проецирования зависит от «ориентации» тора в фазовом пространстве. Это может привести к целому набору различных структур каустик. Существуют также отличия в результатах, полученных для сепарабельных и несепарабельных интегрируемых систем.

При конечных (т. е. в квазиклассическом пределе) поведение функции Вигнера обнаруживает регулярную структуру «дифракционных полос». В этом случае результатом проецирования на координатную плоскость является корректное осцилляторное поведение Сопоставление классического и квазиклассического предельных выражений для показывает, что в случае регулярных состояний роль сводится к наложению регулярной структуры (квантовые колебания) на гладкий классический «фон». На рис. 6.3 показана поверхность сечения Вигнера для регулярного состояния системы типа Хенона-Хейлеса, полученная в [27].

Может оказаться, что в случае нерегулярных состояний недостаточно точное знание вида квазиклассической волновой функции окажется препятствием также и при изучении функции Вигнера. Некоторых успехов можно все же добиться, став на несколько отличную точку зрения. В случае регулярных состояний классический

Рис. 6.3. плотность распределения Вигнера для собственного состояния гамильтониана Изображение в перспективе. (б) Контуры, демонстрирующие гладкую концентрическую структуру фазовой плотности. (Воспроизведено, с разрешения, из [27])

предел функции Вигнера представляет в фазовом пространстве многообразие (тор), с которым данное состояние связано. В экстремальном хаотическом режиме нерегулярное состояние связано, по-видимому, со значительной частью соответствующей энергетической поверхности. С учетом этого кажется разумным предположение о том, что в классическом пределе функция Вигнера представляет собой (нормированное) микроканоническое распределение (см. раздел 6.5.е), т.е. что

При конечных значениях можно ожидать — хотя точное выражение для и не известно, — что фазовая плотность будет распределена на поверхности сечения случайным образом. Это аналогично тому, что наблюдается в случае нерегулярных траекторий на поверхности сечения Пуанкаре.

Оперируя с приведенным выше выражением для IV, можно проанализировать предельное выражение для соответствующей функции используя (6.5.6). Это было проделано Бэрри [25], который показал, что для систем с двумя или более степенями свободы обращается в ноль на классических границах. Такая «антикаустическая» структура существенно отличается от структуры каустик, найденной для регулярных состояний.