6.4.д. Спектральная жесткость

Спектральная жесткость представляет собой еще одну статистическую характеристику расстояний между уровнями, позволяющую проводить различия между интегрируемыми и хаотическими системами. Спектр мощности может быть описан в терминах «спектральной ступенчатой» функции

где 0 — единичная ступенчатая функция, а последовательность упорядоченных (по энергии) собственных значений. С ростом в каждом собственном значении происходит «скачок вверх» функции на единицу. Производная функции представляет собой плотность состояний:

усреднение которой по фазовому пространству приводит к соотношению Томаса-Ферми (6.4.5). Усредняя

получаем полный объем фазового пространства (отнесенный к вплоть до энергии задает полное число состояний, лежащих по энергии ниже

Спектральная жесткость определяется как локальное среднее, отвечающее средним расстояниям между энергетическими уровнями, среднеквадратичного отклонения ступенчатой функции от прямой наилучшего приближения (напомним, что среднее расстояние между уровнями, как следует из (6.4.5), — это

Проведенный Бэрри [12] квазиклассический анализ соотношения (6.4.13) показал, что можно представить как сумму вкладов замкнутых (т. е. периодических) классических траекторий системы, причем наибольший вклад вносят наиболее протяженные траектории. (Более подробно роль периодических траекторий при описании спектра мощности в квазиклассическом пределе обсуждается в разделе 6.7). Результаты Бэрри показывают, что в определенном интервале изменения в случае классически интегрируемых систем; в случае обратимых по времени классических хаотических систем; в случае необратимых по времени классических хаотических систем. здесь являются определенными постоянными. При очень больших значениях поведение утрачивает универсальность. Более подробно ознакомиться с этими важными результатами читатель может по оригинальной работе [12].