Главная > Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.2.в. Скобки Пуассона

Один из наиболее важных вопросов состоит в том, можем ли мы проинтегрировать уравнение Гамильтона. Если система имеет только одну степень свободы (т. е. описывается одной парой канонических переменных , то соответствующая пара уравнений первого порядка может быть проинтегрирована методом, описанным в главе 1. Основной процедурой, независимо от числа степеней свободы, является отыскание интегралов движения. Гамильтонов подход позволяет очень изящно представить временную зависимость динамических переменных. Рассмотрим некоторую функцию для нее

где скобки Пуассона для функций и Существует тесная связь между скобками Пуассона в классической механике и коммутатором в квантовой механике. Действительно, скобки Пуассона можно записать для любой пары динамических переменных, например,

Если динамическая переменная не зависит от времени явным образом (т. е. и ее скобки Пуассона с обращаются в ноль, то, как следует из (2.2.24), является постоянной движения. Очевидно, что энергия не зависящих от времени систем представляет собой постоянную движения, так как скобки Пуассона для функции Я с самой собой равны нулю.

Из определения скобок Пуассона (2.2.25) можно вывести целый ряд их свойств. Для трех заданных функций справедливы соотношения

последнее из которых, обладающее характерной циклической структурой, известно как тождество Якоби. Набор свойств (2.2.26) свидетельствует о том, что скобки Пуассона соответствуют структуре, которая называется алгеброй Ли. Ничто не препятствует выбору различных функций в качестве канонических переменных, что приводит к соотношениям вида

которые напоминают соответствующие соотношения, полученные в квантовой механике (например, третьему соотношению отвечает Если постоянные движения, то из теоремы Пуассона следует, что их скобки также являются постоянной движения, т. е. Это очевидным образом следует из тождества Якоби Так как первые две скобки обращаются в ноль (в силу того, что являются постоянными движения), мы автоматически получаем требуемый результат подтверждающий, что также является постоянной движения. На практике, однако, теорема Пуассона не всегда достаточно конструктивна (с точки зрения построения новых интегралов движения), поскольку скобки могут оказаться просто постоянной (например, равняться нулю) или некой функцией исходных интегралов движения

В главе 1 отмечалось, что в общем случае для полного «интегрирования» системы из уравнений первого порядка требуется интеграл (сюда входят как нетривиальные «интегралы движения», так и тривиальные «постоянные интегрирования»). Означает ли это, что для решения системы уравнений, описывающих гамильтонову систему, потребуется интеграл? К счастью оказывается, что благодаря особой симплектической структуре уравнений Гамильтона, о которой уже упоминалось выше, необходимо лишь интегралов движения. Для понимания сути этого замечательного факта целесообразно сперва рассмотреть так называемые канонические преобразования. Они представляют собой такие преобразования переменных, которые не затрагивают гамильтонову структуру системы.

1
Оглавление
email@scask.ru