2.5.г. Движение на торах
Периодичность (гамильтонова) потока на торах позволяет представить данную динамическую величину 
в виде многократного разложения в ряд Фурье по угловым переменным 
Так, например, 
можно выразить как
где коэффициенты Фурье 
зависящие от переменных действия, определяются соотношением
означают здесь 
выраженные в переменных действие—угол. Переменные, которые могут быть представлены в виде такого кратных рядов, обычно называют многопериодические. Особенности их поведения определяются значениями частот 
Если отношение частот не рационально, движение на данном торе (т. е. на торе с данным набором 
не воспроизводится в точности. Такие траектории обычно называют квазипериодическими. При этом каждая траектория со временем равномерно покрывает тор, т. е. поток на торе является эргодическим. Это легко видно в двумерном случае. Двумерный тор топологически эквивалентен единичному квадрату с отождествленными сторонами (см. рис. 2.6). При иррациональном отношении 
установить эргодичность движения довольно просто. По-видимому, строго это впервые доказал Якоби в 1835 году, но нестрогое исследование этого вопроса можно найти еще у ученого четырнадцатого столетия Николаса Орезма 
. Если, с другой стороны, отношение всех частот рационально, движение в конце концов повторит себя; такие траектории называют замкнутыми. В случае двух измерений должно выполняться единственное соотношение вида
Если поток на торе характеризуется таким отношением частот, траектория замкнется после 
циклов по 
циклов по 
В 
-мерном случае для замыкания траектории требуется выполнение 
условия вида
Рис. 2.6. Эквивалентность 
-тора и (единичного) квадрата с отождествленными сторонами
здесь к — набор целых чисел. Полностью интегрируемая система называется невырожденной, если выполняется условие
Это предполагает, что частоты изменяются от тора к тору (т.е. система нелинейна). При этом некоторые торы на данной энергетической поверхности будут покрыты замкнутыми траекториями, тогда как другие — квазипериодическими траекториями. Хотя рациональных чисел существует бесконечно много, в множестве действительных чисел они образуют подмножество меры ноль; это означает, что иррациональных чисел бесконечно больше, чем рациональных. Таким образом, в невырожденной системе множество торов, покрытых квазипериодическими траекториями, будет более мощным, чем множество торов, покрытых замкнутыми траекториями, хотя последнее и плотно. Тем не менее мы увидим, что замкнутые траектории играют важную роль в определении свойств интегрируемых систем при возмущении.
