2.5.б. Свойства интегрируемых систем

В общем случае сепарабельность конкретного гамильтониана и возможность определения переменных действия в виде (2.5.5) далеко не очевидны. Из всего сказанного выше должно быть понятно, что ключом к интегрированию гамильтоновой системы с степенями свободы является отыскание независимых интегралов (постоянных) движения. Если их удается представить в виде постоянных сопряженных импульсов, то уравнения Гамильтона легко интегрируются (даже если обратный переход к исходным нетривиален). Если, к тому же, удается найти независимых периодических путей набор переменных действия может быть задан в явном виде. Как мы убедимся ниже, сепарабельность в виде (2.5.1) для этого в действительности не требуется.

Если является интегралом движения, то его значение вдоль любой траектории в фазовом пространстве постоянно:

Используя скобки Пуассона (раздел 2.2) можно записать

Говорят, что гамильтонова система полностью интегрируема, если существует интегралов движения, в качестве одного из которых, скажем выступает гамильтониан Н, образующих инволютивную систему. Последний термин подразумевает, что все коммутируют друг с другом:

Значение этого свойства скоро станет понятным.

Существование интегралов означает, что траектории в -мерном фазовом пространстве будут ограничены некоторым -мерным многообразием (в главе 1 было показано, что в случае системы с одной степенью свободы существование одного интеграла ограничивает движение инвариантной (одномерной) кривой). Теперь мы можем показать, что многообразие обладает топологией -мерного тора. Воспользовавшись симплектической матрицей, задаваемой соотношением (2.2.23), определим поля «скоростей» в виде

где Если то (2.5.12) определяет истинный гамильтонов поток, который, в силу существования набора интегралов должен полностью лежать на Таким образом, векторное поле касательно к Действительно, все поля «скоростей» касательны к в силу свойства инволюции (2.5.11), линейно независимы. Хрестоматийная теорема топологии (теорема Пуанкаре-Хопфа, именуемая иногда теоремой невозможности причесать ежа») утверждает, что -мерное многообразие для которого можно построить независимых касательных векторных полей, имеет топологию -мерного тора. Это положение можно представить наглядно, сопоставив результат причесывания волос на двумерном торе и двумерной сфере — в последнем случае один из волос всегда будет торчать в точке полюса; см. рис. 2.1).

Рис. 2.1. (а) Гладко «причесанные» векторные поля на двумерном торе, (б) Сингулярная точка векторного поля на двумерной сфере

Существование в фазовом пространстве таких торов в свою очередь обеспечивает возможность инвариантного (т. е. не зависящего от способа представления) определения переменных действия. Обладающий естественной периодичностью -мерный тор можно рассматривать как прямое произведение независимых контуров с периодом Другими словами, на торе можно определить топологически независимых замкнутых путей ни один из которых не может быть плавно трансформирован в другой или стянут в точку (см. рис. 2.2).

Рис. 2.2. Две топологически независимые кривые на двумерном торе Переменные действия определяются следующим образом:

и с помощью производящей функции можно получить сопряженные угловые переменные:

Уравнения Гамильтона имеют в переменных действие—угол вид

Необходимо подчеркнуть, что если система полностью интегрируема, то переход к переменным действие—угол носит глобальный характер. Это означает, что фазовое пространство полностью заполняется торами (хотя при этом могут также существовать некоторые многомерные сепаратрисы — см. ниже), и данная траектория неизменно лежит на том или ином торе. Заданный набор начальных условий определяет конкретные значения интегралов: . В свою очередь, этот набор определяет, на каком из торов лежит траектория (т.е. истинные значения переменных действия ), а значения переменных 0 определяют положение траектории на этом торе в данный момент времени.

Для полностью интегрируемых консервативных систем с степенями свободы,

можно указать следующие важные размерности:

(1) фазовое пространство: -мерно;

(2) энергетическая поверхность: -мерна;

(3) торы: -мерны.

Легко составить табличку, иллюстрирующую соотношение размерностей:

Анализируя эти числа, можно отметить ряд важных моментов. Во-первых, и энергетическая поверхность, и торы систем с одной степенью свободы имеют одинаковую размерность, равную единице. Формально это означает эргодичность таких систем. Во-вторых, при двумерные торы погружены на трехмерную энергетическую поверхность. Это означает, что они разделяют энергетическую поверхность на внутреннюю и внешнюю части. Таким образом, если между торами существует какой-либо «зазор» (что может иметь место для неинтегрируемых систем), находящаяся в нем траектория покинуть его не может. Но в то же время, в-третьих, при траектории, находящиеся в «зазорах» между торами больших размерностей, могут перемещаться в другие области энергетической поверхности. Таким образом возникает явление, известное как диффузия Арнольда. (Обсуждение этого вопроса см. в книге Лихтенберга и Либермана [5]).