6.5.г. Некоторые численные результаты

Рассмотрим с учетом высказанных соображений некоторые результаты численного изучения волновых функций в регулярном и нерегулярном режимах. Нойд и др. [30] точно рассчитали квантовую плотность вероятности для состояний системы типа Хенона-Хейлеса (с отношением фундаментальных частот не . Результаты расчета для регулярного состояния представлены на рис. 6.4. Показана также классическая траектория, лежащая на соответствующем (ЭБК) торе. На рисунке ясно видно, что область локализации плотности вероятности соответствует каустической структуре соответствующего тора. Из регулярности колебаний следует, что система узловых линий будет регулярна. На рис. 6.5 представлены результаты расчета для состояния с более высокой энергией, для которого квантование по правилам ЭБК невозможно. Показана также типичная для данного значения энергии нерегулярная траектория. В этом случае функция так же, как траектория, занимает большую часть классически разрешенного конфигурационного пространства. В целом структура волновой функции существенно менее регулярна, чем в предыдущем случае.

Другое интересное исследование было проведено в работе [29] для волновых функций «стадиона». При этом необходимо отметить, что потенциал такой системы на классических границах бесконечен, и поэтому должна здесь обращаться в ноль (т. е. «антикаустическое» предположение проверено быть не может). При параметре формы «стадион» редуцируется в окружность. Результаты расчетов волновой функции, проделанных Мак-Дональдом и Кауфманом для этого случая, представлены на рис. 6.6. Осцилляции амплитуды регулярны, строго ориентированы и

(кликните для просмотра скана)

достигают максимума вдоль внутренней окружности, соответствующей каустике в классическом случае. Пересекающиеся узловые линии образуют регулярную структуру. Результаты, представленные на рис. 6.7, получены для состояния с практически таким же значением энергии, но в случае стадиона с различия поразительные. Распределение амплитуды однородно по всей классически разрешенной области; узловая структура крайне нерегулярна, узловые линии практически не пересекаются.

Рис. 6.7. (а) Изображение в перспективе одного из квадрантов амплитуды волновой функции состояния стадиона с собственным значением . (б) Узловая структура этого состояния — в этом случае узловые линии действительно не пересекаются. (Воспроизведено, с разрешения, из [29])