4.2.в. Взаимосвязь между сохраняющими площадь отображениями и гамильтонианами

Хотя отображение Хенона обнаруживает все общие черты неинтегрируемого гамильтониана, способ получения его из такого гамильтониана не очевиден. Поэтому следует задаться вопросом, можно ли явным образом строить сохраняющие площадь отображения, исходя из гамильтоновых систем. Рассмотрим простой гамильтониан с одной степенью свободы вида

для которого гамильтоновы уравнения записываются просто как

Можно попытаться записать производные по времени от левых частей (4.2.16) в виде приращений первого порядка, т.е. где Дискретный вариант (4.2.16) примет в этом случае вид

Однако это преобразование не сохраняет площадь, так как

и мы полагаем, что конечно (см. обсуждение инфинитезимальных канонических преобразований в главе 2). Но если производную в (4.2.176) вычислять не при а при , т. е.

то отображение, как легко видеть, превратится в сохраняющее площадь.

Теперь интересно определить, гамильтониан какого типа может дать в точности такие уравнения движения. Вместо (4.2.15) рассмотрим зависящий от времени гамильтониан вида

где Физически он соответствует ситуации, в которой частица (единичной массы) свободно перемещается в течение времени а затем испытывает воздействие внешней силы с потенциалом в течение времени затем процесс периодически повторяется. Гамильтонианы такого типа используются для описания распространения лучей в волноводах; внешние воздействия связаны с периодически

расположенными линзами. Интегрирование гамильтоновых уравнений для (4.2.19) на произвольном промежутке от до дает в точности уравнения (4.2.18) (с заменой на . Мы можем также изменить последовательность операций в (4.2.19) таким образом, что

Интегрирование гамильтоновых уравнений в этом случае дает отображение

которое также сохраняет площадь.

Между гамильтонианами (4.2.19) и (4.2.20) не существует, конечно, никаких различий, хотя уравнения, описывающие отображение для второго из них, обладают определенной тонкой внутренней симметрией, что и обсуждается ниже.