3.3. Большое число степеней свободы и проблема малых знаменателей

Каноническая теория возмущений для систем с двумя и более степенями свободы формулируется точно так же, как и для систем с одной степенью свободы — но при этом возникают значительные трудности, проявляющиеся уже в первом порядке по Рассмотрим систему

где -мерные векторы действий и углов соответственно. Уравнения Гамильтона имеют вид

и

где представляет собой -мерный вектор частот. Нашей целью вновь является отыскание в рамках теории возмущений нового набора канонических переменных который допускает преобразование возмущенной системы к интегрируемому виду (т.е. с помощью производящей функции удовлетворяющей соотношениям

5 разлагается по степеням в ряд вида

где основной член соответствует обычному тождественному преобразованию. Уравнение Гамильтона-Якоби

преобразуется точно таким же образом, как и ранее, что дает

и т.д., где мы снова заменяем I на в левой части (3.3.66). Из (3.3.66) с учетом (3.3.26) получаем

Поправку первого порядка для энергии снова находим, полагая периодичность по в и проводя усреднение по всем угловым переменным:

где

Существенные трудности возникают при попытке разрешить (3.3.7) относительно Разлагая 51 и «периодическую» часть в -мерные ряды Фурье,

где и штрих означает отсутствие в сумме члена , легко находим, что

3.3.а. Малые знаменатели

На основании результатов, полученных для систем с одной степенью свободы, может показаться, что таким же образом можно продолжать действовать и в случае более высоких порядков по Однако понятно, что если фундаментальные частоты соизмеримы (т. е. то сумма в (3.3.12) будет расходиться. При этом, даже если несоизмерима, всегда можно отыскать такое (большое) что произведение окажется сколь угодно мало. Это известная в классической механике проблема малых знаменателей, претерпевшая за последние сто лет столь незначительное развитие.

В некоторых случаях сходимость ряда может быть достигнута за счет соответствующего уменьшения числителя. Однако Брунс уже довольно давно показал, что (грубо говоря) значения для которых ряд (абсолютно) сходится, и значения, для которых он не сходится, лежат сколь угодно близко друг к другу. Отсюда вытекает, вследствие зависимости от что получаемая описанным выше способом не является непрерывной функцией А поскольку предположение непрерывности лежит в основе всей процедуры теории возмущений (см. уравнения (3.3.2) и (3.3.3)), то соответствующий ряд — даже если окажется, что он сходится при некотором значении не обязательно представляет действительное движение. Дальнейшие исследования Пуанкаре убедительно показали, что ряд Фурье (такой как (3.3.10) и не может служить сходящимся представлением для возмущенной системы. Поэтому такие важные задачи, как устойчивость орбит планет солнечной системы на протяжении длительного промежутка времени, удовлетворительно решены быть не могут. Оценка устойчивости на протяжении ограниченного промежутка времени, основанная на некоторых усечениях ряда — максимум того, что может быть здесь достигнуто.

3.3.б. Фундаментальная проблема

Для решения проблемы малых знаменателей некоторые из наиболее выдающихся математиков своего времени приложили немалые усилия, но успехом они не увенчались. Пуанкаре назвал эту проблему «фундаментальной проблемой» классической механики; представлялось, что на пути дальнейшего прогресса имеются непреодолимые препятствия. Состояние вопроса удачно подытожил Макс Борн, интересовавшийся классической теорией возмущений в связи с решением задач «старой квантовой теории» [5]: «Было бы поистине замечательно, если бы Природа оградила себя от дальнейшего развития знаний посредством аналитических трудностей в задачах многих тел».

Одна из точек зрения состояла в том, что добавка даже малейшего неинтегрируемого возмущения сделает систему эргодической; т. е. система будет полностью заполнять энергетическую поверхность так, что среднее по времени будет равно среднему по фазовому пространству. Таковы были взгляды накануне знаменитого расчета Ферми-Улама-Паста - одного из первых динамических расчетов, проведенных с использованием компьютера в начале 1950-х годов. Эти авторы рассмотрели цепочку гармонических осцилляторов, связанных кубической нелинейностью, и проанализировали, каким образом энергия одной из мод будет распределяться между остальными. Они предполагали обнаружить статистическое распределение по энергии. К своему большому удивлению они обнаружили периодическую циркуляцию энергии, откуда следовало, что система интегрируема в «значительно большей степени», чем предполагалось. (В действительности интегрируемость этой системы оказалась за пределами самых необузданных фантазий — в непрерывном пределе рассматриваемая модель сводится к известному нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных, называемому уравнением Кортевегаде Фриза)

«Фундаментальная проблема» была решена в самом начале 1960-х годов с появлением знаменитой теперь теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ-теоремы). Эта теорема излагается в следующем разделе. А в заключение этого раздела отметим, что теория возмущений и ее различные варианты, включая, например, разработанные недавно методы преобразований Ли, остаются до сих пор весьма ценным средством. Хороший обзор и иллюстрация многих из этих методов даны в книге [7].