4.6.б. Метод Грина

Перейдем к обсуждению (хотя и очень краткому) важного метода, развитого Грином [24], который позволяет предсказывать возникновение хаотического движения, основываясь на анализе устойчивости замкнутых траекторий. В основе метода лежит гипотеза о том, что «размывание» инвариантной кривой (тора) может быть связано с внезапной потерей устойчивости соседними замкнутыми траекториями. Чтобы представить себе это более подробно, рассмотрим слабо возмущенную интегрируемую систему. В соответствии с КАМ-теоремой сохраняются инвариантные кривые с «достаточно» иррациональным числом вращения. Соседние рациональные (и близкие к рациональным) кривые разрушаются таким образом, как мы ранее описывали (теорема Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке): в одинаковом числе эллиптических (устойчивых) и гиперболических (неустойчивых) неподвижных точек. Метод Грина основан на наблюдении, что, когда возмущение становится достаточно сильным (или энергия достаточно велика), устойчивые неподвижные точки также превращаются в неустойчивые («гиперболические с отражением») неподвижные точки. Такой переход и сигнализирует о «размывании» инвариантной кривой, расположенной «близко» к множеству неподвижных точек, потерявших устойчивость. Вернемся к обсуждению КАМ-теоремы в главе 3; вполне удовлетворительный способ оценить близость замкнутой траектории к данной инвариантной кривой состоит в том, чтобы выразить число вращения этой кривой в виде цепной дроби

где положительные целые числа. При этом последовательные усечения такой дроби, представляющей иррациональное число вращения, дают числа вращения замкнутых траекторий, все более «близких» к выбранной инвариантной кривой. Анализируя устойчивость такой последовательности замкнутых траекторий по мере их «приближения» к инвариантной кривой, Грин [24] сумел предсказать разрушение этой кривой.

Обсуждаемый метод включает два существенных этапа: (1) отыскание замкнутых траекторий и (2) определение их устойчивости. Подробное обсуждение первого вопроса выходит за рамки этой главы. Достаточно сказать, что имеется целый ряд хорошо разработанных и эффективных методов отыскания замкнутых траекторий с любой требуемой топологией (числами вращения). Упомянем, в частности, подход, описанный Грином [24], и метод, разработанный Хеллеманом и Бунтисом [25]. Анализ устойчивости мы рассмотрим на примере, подробно изученном Грином, а именно, на примере «стандартного отображения» (на единичном торе):

Параметр к можно рассматривать как параметр возмущения; при отображение становится тривиальным:

При этом оно, очевидно, «интегрируемо», поскольку все траектории лежат на прямой. Они же являются инвариантными кривыми невозмущенного отображения. Возвращаясь к рис. 4.11, на котором представлено стандартное отображение, рассчитанное при мы видим несколько сильно нерегулярных траекторий, заполняющих значительные области фазовой плоскости, а также типичную структуру из чередующихся гиперболических и эллиптических неподвижных точек. Заметим, что существуют также инвариантные кривые, разделяющие фазовое пространство и тем самым не позволяющие траектории блуждать по всему фазовому пространству. До тех пор, пока эти кривые не разрушатся, «хаос», очевидно, не будет действительно глобальным.

Для определения устойчивости данной замкнутой траектории необходимо построить касательное отображение. Это соответствует линеаризации отображения каждой итерации. Определив переменные «касательного пространства» (61,60), получаем касательное отображение

где

Касательное отображение относится к сохраняющим площадь, так как

Для траектории, замыкающейся после итераций этого отображения, собственные значения матрицы

задают индексы устойчивости, или множители Флоке. Обозначая элементы матрицы через получаем в явном виде

где мы использовали условие (4.6.42):

Ранее было показано, что в случае комплексных собственных значений траектории устойчивы, тогда как в случае действительных — неустойчивы. Грин [24] ввел величину, называемую вычетом, которая определяется следующим образом:

где обозначает след матрицы.

Из (4.6.44) следует, что при собственные значения мнимые и, следовательно, траектория устойчива, т. е. неподвижные точки являются эллиптическими. При или собственные значения действительны, и, следовательно, траектория неустойчива. При этом случаю соответствуют гиперболические неподвижные точки, а случаю «гиперболические-с-отражением». (Для параболических неподвижных точек Можно показать, что для траектории «длины» вычет пропорционален как для больших, так и для малых . (Напомним, что для рассматриваемой системы — это параметр возмущения.) Такая экспоненциальная зависимость от устраняется путем введения величины, называемой средним вычетом,

где некоторая произвольная постоянная, задаваемая из соображений практического удобства. Теперь мы можем охарактеризовать устойчивость последовательности замкнутых траекторий, сходящихся к выбранной инвариантной кривой. Каждая последующая замкнутая траектория (определяемая последующим усечением цепной дроби, которая служит представлением числа вращений выбранной кривой) характеризуется большим значением что соответствует возрастанию топологической сложности этой траектории. Замечательно, что при этом последовательность средних вычетов сходится, как оказалось, к некоторой конечной величине. Скорость сходимости определяется по-видимому, значением ; для рассматриваемой задачи было найдено оптимальное значение Более подробное обсуждение этого вопроса читатель может найти в оригинальной работе Грина [24]. Показано (эмпирически), что, если последовательность средних вычетов сходится к величине, превосходящей

единицу (в предположении то инвариантная кривая, связанная с данной последовательностью замкнутых траекторий, разрушается.

Этот критерий позволяет найти для любой инвариантной кривой значение параметра возмущения к, при котором она разрушается. В случае рассматриваемой системы метод дал очень точные результаты. В дополнение к этому Грин [24] предложил нестандартное обобщение своего метода для предсказания возникновения глобального хаоса. Оно основывается на предположении, что чем лучше иррациональная кривая может быть приближена последовательностью рациональных, тем меньшее возмущение требуется для ее разрушения. Естественно предположить, что в последнюю очередь будет разрушена кривая, число вращения которой хуже всего приближается посредством последовательности рациональных чисел. Представление в виде цепной дроби для числа вращения такой инвариантной кривой имеет вид

и представляет собой знаменитое «золотое сечение». Таким образом, когда к становится достаточно большим для того, чтобы разрушить эту инвариантную кривую, можно с достаточной уверенностью считать, что все остальные кривые за это время также разрушились. После этого ничто не препятствует нерегулярной траектории блуждать по всей фазовой плоскости — возникает глобальный хаос. Было найдено, что критическое значение к, при котором разрушается кривая, соответствующая золотому сечению, близко к единице. Это хорошо согласуется с наблюдаемым возникновением глобального хаоса.