3.2.г. Возмущенный осциллятор

Вернемся к уравнению (3.1.23) и решим его с помощью канонической теории возмущений в качестве простой иллюстрации обсуждаемого метода. Это уравнение может быть представлено в виде

где

и

Решение (3.2.25) в переменных действие—угол уже было найдено в главе 2; оно имеет вид

и

где . С помощью соотношения можно выразить в терминах переменных действие—угол нулевого порядка:

Следуя описанной процедуре, находим в случае

При усреднении по в оказывается, что т.е. равна нулю поправка первого порядка для энергии. Уравнение (3.2.29) легко разрешается относительно

На следующем шаге получаем

где отсутствует член, содержащий (ср. уравнение (3.2.9в)), поскольку для этой линейной задачи нулевого порядка Используя (3.2.30) и (3.2.29) и усредняя по в, легко находим поправку второго порядка для энергии:

Таким образом, в случае второго порядка по «новый» гамильтониан приобретает вид

и, следовательно, новая частота выражается соотношением

в котором проявляются (в данном случае слабая) амплитудная зависимость, типичная для нелинейных систем.