8.1.а. Работа Ковалевской
Знаменитая работа Ковалевской, за которую она была удостоена премии Бурдена Парижской Академии наук в 1888 году, была посвящена решению уравнений
Эйлера-Пуассона, описывающих движение тяжелого волчка относительно неподвижной точки. Они представляют собой систему шести нелинейных связанных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида:
где 
составляющие угловой скорости, 
у — направляющие косинусы, которые определяют ориентацию волчка. Наборы переменных 
представляют собой моменты инерции и координаты центра тяжести соответственно. Они выступают в качестве подгоночных параметров системы: в зависимости от их значений система может быть или не быть интегрируемой.
Во времена Ковалевской было найдено лишь несколько частных решений системы (8.1.4), и вопрос о возможности ее решения в общем виде при любых 
оставался открытым. Система (8.1.4) имеет три «классических» первых интеграла при любых значениях параметров:
Первые два представляют собой полную энергию и угловой момент соответственно; третий выражает простые геометрические ограничения. Для решения уравнений (8.1.4) необходимо отыскать четвертый интеграл и тем самым свести систему к уравнениям второго порядка, которые затем могли бы быть проинтегрированы в квадратурах.
Такой четвертый интеграл был известен для следующих случаев:
(1) Случай Эйлера: 
т.е. центр тяжести совпадает с неподвижной точкой. Нетрудно проверить, что при этом четвертый интеграл имеет вид
(2) Случай Лагранжа: 
, т. е. симметричный волчок, центр тяжести которого расположен на оси 
В этом случае уравнение (8.1.4в) становится тривиальным, и четвертый интеграл — это просто
(3) Полностью симметричный случай: 
Все три случая допускают интегрирование в терминах эллиптических функций Якоби.
Ковалевская предложила совершенно иной подход к решению этой механической задачи, предполагающий использование явно нефизической техники комплексных переменных. Основываясь, по-видимому, на работе Фукса, в которой рассматривались свойства дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной плоскости, она решила определить возможные типы особенностей уравнений (8.1.4). Цель состояла в отыскании условий, при которых обыкновенный полюс был бы единственной разновидностью подвижных особенностей решений в комплексной плоскости.
Здесь необходимо прерваться и выяснить, что подразумевается под подвижной особенностью. В случае линейных обыкновенных дифференциальных уравнений особенности определяются коэффициентами уравнения и локализуются в фиксированных точках комплексной области. Например, уравнение
имеет неподвижную особенность в точке 
В этом случае решение имеет вид 
и мы видим, что особенность в точке 
действительно является существенной. (Существенные особые точки подробнее будут обсуждаться в разделе 
Нелинейные дифференциальные уравнения могут, в противоположность линейным, обладать подвижными особенностями, локализация которых определяется начальными условиями. Например, уравнение
имеет решение
где 
Таким образом, 
имеет простой полюс при 
где 
определяется начальным значением 
Решением уравнения
является
где в данном случае 
и уравнение имеет подвижную точку ветвления.
Ковалевская нашла, что лишь в четырех случаях уравнения Эйлера-Пуассона имеют только подвижные полюсы. К уже известным трем случаям добавился еще один (случай Ковалевской): 
Четвертый интеграл имеет вид
Уравнения движения Ковалевская проинтегрировала с помощью виртуозной техники, включающей гиперэллиптические функции.
В то время было неясно, за счет чего срабатывает такой подход, т. е. каким образом конкретная структура особенностей в комплексной области может определять
интегрируемость (в реальном времени) механической системы. Результат Ковалевской рассматривался как особое свойство задачи для недеформируемого твердого тела, не имеющее каких-либо других приложений для механических систем. И лишь в последнее время была осознана общность обсуждаемого подхода и достигнуто некоторое понимание того, за счет чего он работает.
