1.5. Интегралы, зависящие от времени
Интегралы, зависящие от времени, представляют собой редкие и, следовательно, весьма интересные объекты. Простым примером служит специальный случай затухающего линейного осциллятора (1.1.6), который мы снова запишем в виде системы первого порядка (приняв без потери общности 
Умножив сперва уравнение (1.5.1а) на 
и уравнение (1.5.26) на 
получим
Затем уравнение (1.5.1а) умножим на 
на 
Сложив вместе уравнения обеих систем (1.5.2) и (1.5.3), получаем выражение
которое приводится к виду
и может быть проинтегрировано точно:
где С — постоянная интегрирования. Уравнение (1.5.4) позволяет выразить у как функцию 
но только при специальном выборе 
когда левая часть представляет собой полный квадрат, это выражение принимает простой вид:
Подстановка в (1.5.1а) приводит к точно решаемому уравнению первого порядка
с затухающим решением
где 
вторая постоянная интегрирования. Этот результат, естественно, эквивалентен решению (1.1.16) в случае вырожденных собственных значений (что имеет место при 
Существование не зависящего от времени первого интеграла у консервативных систем налагает определенные геометрические ограничения на фазовый поток. В рассматриваемом случае можно соотношение (1.5.5) можно рассматривать как ограничение в виде прямой линии 
экспоненциально стягивающейся к началу координат по времени.
В качестве другого примера может служить система уравнений
Умножая (1.5.8а) на х, (1.5.86) на у и складывая, приходим к уравнению
интегрирование которого дает
Подстановка 
в (1.5.8а) приводит к нелинейному уравнению первого порядка
Оно имеет вид уравнения Риккати и полностью линеаризуется с помощью подстановки 
приводя к линейному уравнению второго порядка
которое в принципе может быть решено стандартным способом разложения в ряд. В этом случае можно считать, что фазовый поток ограничен экспоненциально стягивающейся окружностью, определяемой соотношением (1.5.10).
