6.7.д. Обсуждение метода замкнутых траекторий

С практической точки зрения квантование с помощью метода замкнутых траекторий не является наиболее удобным, поскольку требуемое при этом перечисление всех замкнутых траекторий и соответствующих им свойств представляет собой громоздкую задачу даже для отображений, не говоря уже о гамильтонианах общего вида с двумя и более степенями свободы. В тоже время метод позволяет понять кластеризацию уровней энергии, что является его важной особенностью. Каждая замкнутая траектория вносит в осциллирующий вклад, «длина волны» которого определяется в энергетическом пространстве соотношением где полное действие вдоль траектории. (Эта величина включает возможность повторных прохождений данной траектории.) Поскольку представляет собой не что иное, как период траектории мы видим, что Таким образом, осциллирующий вклад в каждой замкнутой траектории имеет порядок что существенно превосходит (в случае более чем одной степени свободы) среднее расстояние между уровнями, имеющее порядок

Это можно понять и с другой точки зрения, рассмотрев «сглаженную плотность состояний». Она определяется как плотность состояний, получаемая при сглаживании с помощью непрерывной весовой функции — как правило лорентцевского типа:

где — ширина сглаживания. Эта ширина соответствует добавлению мнимой части к энергии в выражении (6.7.5), поскольку

Таким образом, каждая из -функций в выражении для заменяется лорентцевским пиком в выражении для . С ростом распределения Лорентца перекрываются, и с некоторого момента разрешимыми с помощью окажутся

только некоторые кластеры уровней энергии в Легко усматривается связь с представлением в терминах замкнутых траекторий; она определяется тем, что с точностью до членов первого порядка результат добавления мнимой части к энергии в фазовом множителе выражается соотношением

Таким образом, вклад каждой из замкнутых траекторий в уменьшается при данном 7 на величину, пропорциональную периоду траектории. Так что данные траектории или повторные прохождения данной траектории вносят лишь экспоненциально малый вклад в Отсюда следует, что всего несколько (коротких) периодических траекторий могут дать приближенное представление при этом осцилляции в соответствуют различным кластерам уровней энергии.

В противоположность этому функция спектральной жесткости (обсуждавшаяся в разделе 6.4.д), которая характеризует определенные крупномасштабные корреляции в энергетическом спектре, определяется главным образом, как показал квазиклассический анализ, наиболее длинными замкнутыми траекториями системы.

Сформулированный метод замкнутых траекторий относится к неинтегрируемым системам, поскольку он предполагает изолированность всех замкнутых траекторий. В случае интегрируемых систем это условие несправедливо, и траектории образуют лежащие на торе однопараметрические семейства. Спектр при этом также можно представить в терминах замкнутых траекторий, используя подход, развитый в [39,40]. (В некоторых неинтегрируемых системах определенные замкнутые траектории образуют «малые», непрерывные семейства — упомянутый выше подход охватывает и эти случаи.)