Глава 3. Классическая теория возмущений

3.1. Элементарная теория возмущений

Полностью интегрируемые гамильтоновы системы представляют собой исключение Тем не менее, несмотря на свою исключительность, интегрируемые системы играют важную роль в нашем понимании неинтегрируемых систем. Это происходит потому, что часто удобно представить гамильтонову систему в виде суммы интегрируемого члена и некоторого (малого) возмущения

в предположении, что параметр возмущения Идея состоит в том, чтобы приближенное решение для искать в виде суммы «точного» решения для и малых поправок, связанных с Это составляет предмет теории возмущений, и наиболее известным примером ее приложения является описание движения планет в солнечной системе. Если задачу о движении Земли вокруг Солнца рассматривать как задачу двух тел, она решается точно, т. е. интегрируема. (Земля вращается вокруг Солнца по кеплеровским орбитам.) Однако другие планеты, особенно Юпитер, оказывают небольшое влияние, которое можно рассматривать как малое возмущение к задаче двух тел. Было показано, что такая задача трех тел, даже будучи сведенной к своему простейшему виду, неразрешима в том смысле, что попытки многих ученых, в том числе некоторых выдающихся математиков, найти сходящиеся ряды в разложении по теории возмущений для приближенных орбит не увенчались успехом. Эта известная своей сложностью задача будет обсуждаться по ходу изложения позднее, а сейчас мы приведем несколько более простых примеров теории возмущений, которые позволят наметить предстоящие глубокие проблемы.

Основная идея теории возмущений состоит в том, чтобы разложить решение в ряд по степеням

где точное решение интегрируемой части задачи, а поправки вычисляются рекуррентно. Разложение, очевидно, таково, что в пределе сохраняется только «интегрируемая» часть задачи. Можно надеяться, что при достаточно малых несколько первых членов ряда (3.1.2) обеспечат достаточно хорошее приближение «истинного» решения — хотя даже в этом случае нет никаких гарантий, что эта ситуация будет сохраняться в течение длительного времени. Другими словами, в каждом случае разложения вида (3.1.2) мы сталкиваемся с основной

проблемой его сходимости. Несколько простых, но поучительных примеров разложения в ряды можно найти среди задач по отысканию приближенных корней алгебраических уравнений.

3.1.а. Регулярные ряды возмущений

Рассмотрим простое квадратное уравнение

где предполагается, что мало. В нулевом приближении, эквивалентном «интегрируемой» части динамической задачи имеется два корня Попытаемся представить корни «возмущенной» задачи (3.1.3) в виде степенного ряда

где один из двух корней нулевого приближения, относительно которого производится разложение. Подставляя разложение (3.1.4) в (3.1.3) и последовательно приравнивая нулю каждую из степеней находим вплоть до

Уравнение (3.1.5а) дает, как и следовало ожидать, корни нулевого приближения. Для каждого из значений мы можем последовательно решить уравнения (3.1.56), (3.1.5в) и другие, отвечающие более высоким степеням ?. Таким способом мы легко находим вид разложения для обоих корней (3.1.3):

Если, например, положить то корни будут равны соответственно (с точностью до и -1,0564, что согласуется с точностью до третьего десятичного знака с аналитическим решением. Разложения вида (3.1.4) представляют собой примеры регулярных рядов возмущений; они имеют конечный радиус сходимости и в пределе дают решения нулевого приближения.