4.5.б. Спектры мощности

Другой полезной характеристикой траекторий служит их преобразование Фурье или спектр мощности. Действительно, во многих экспериментах (например, в гидродинамике) данные часто регистрируются в виде преобразования Фурье, а не в виде обычного временного (или пространственного) сигнала.

Рассмотрим вначале случай регулярного движения. Поскольку траектории ограничены торами, они могут быть представлены в стандартном виде

где вектор коэффициентов Фурье, связанных с переменными а частоты соответствующего тора. Понятно, что преобразование Фурье для (4.5.17) будет представлять собой набор -функций от фундаментальных частот из и различных обертонов. Спектр мощности, строго говоря, определяется как преобразование Фурье корреляционной функции от определенной переменной, скажем

где означает некоторое усреднение по ансамблю. Спектр мощности, таким образом, представляется в виде

Полученный результат является частным случаем теоремы Винера-Хинчина.

В качестве ансамбля в случае регулярного движения естественно выбрать соответствующий тор. Поскольку он покрыт однопараметрическим (начальная фаза семейством траекторий, среднее по ансамблю совпадает с (фазовым) средним по всем 6. В этом случае легко показать, что

и, следовательно,

где коэффициенты Фурье, связанные с переменной Более того, в случае торов с несопоставимыми частотами, поток на торе эргодичен. Поэтому фазовое среднее совпадает со средним по времени, и можно рассчитать, используя единственную траекторию:

Рис. 4.25. Эргодический спектр для отдельных траекторий системы Хенона-Хейлеса при регулярная траектория; (б) нерегулярная траектория

(определенная таким образом величина представляет собой по сути спектральную линейную функцию, часто используемую в спектроскопии).

На практике временные ряды ограничены конечными интервалами времени, и спектр в на самом деле представляет собой свертку действительного движения и функции вида Рассмотрим, например, простой случай периодического движения,

Используя (4.5.22), легко показать, что

В случае конечных имеется максимум при и ряд симметричных затухающих боковых полос. В пределе обращается, как и следовало ожидать, в -функцию при

В хаотическом режиме сохраняется возможность рассчитывать используя единственную траекторию, следуя (4.5.22).

(Строго говоря, эта величина уже не будет линейной спектральной функцией, поскольку не ясно, что служит ансамблем в

Спектр нерегулярной траектории оказывается намного сложнее, чем спектр регулярной. Как правило, наблюдается несколько основных пиков, окруженных «густой травой» (рис. 4.25). Основываясь лишь на численных расчетах, трудно сказать, является ли эта «травянистая» область спектра действительно непрерывной, когда речь идет о нерегулярных траекториях общих гамильтоновых систем. Тем не менее, различие спектров регулярного и нерегулярного движения, как правило, весьма существенно и дает полезное представление о динамических системах. Действительно, существует ряд важных строгих результатов, из которых следует, что система, если она «эр-годична», будет иметь дискретный спектр. А для того, чтобы иметь непрерывный спектр, она должна быть «смешанной». (Мы обсудим это вкратце в разделе 4.7.)