3.1.в. Регулярные ряды возмущений для дифференциальных уравнений

Простой пример регулярного разложения для решения дифференциального уравнения дает система первого порядка

с начальным условием в предположении, что здесь следуем изложению Персиваля и Ричардса Используя разложение (3.1.2) и приравнивая степени находим:

Интегрируемая часть задачи (нулевое приближение (3.1.12а)) решается легко:

Подстановка этого решения в (3.1.126) дает

с начальным условием (Полагая для всех мы гарантируем, что решение (3.1.11) будет удовлетворять условию при всех ) Решение линейного неоднородного уравнения (3.1.14) находится без труда:

и, в свою очередь, может быть подставлено в (3.1.12в), что приводит к результату

Таким образом, с точностью до решение (3.1.11) имеет вид

Уравнение (3.1.11) можно также решить точно с помощью линеаризации посредством подстановки (либо подстановки Обе подстановки приводят к результату

Разложение знаменателя дает что, очевидно, согласуется с (3.1.17) с точностью до Радиус сходимости этого разложения определяется соотношением Таким образом, существует критическое значение времени за пределами которого разложение ряд утрачивает смысл. Это время легко определить из условия

Для полноты рассмотрим кратко обобщение (3.1.11):

где а — произвольный показатель степени. Это уравнение (часто называемое уравнением Бернулли) может быть линеаризовано с помощью подстановки что приводит к результату

Он также может быть представлен в виде степенного ряда, критическое время для которого определяется соотношением

откуда мы заключаем, что ряд будет сходиться при всех (положительных) при условии

Перейдем теперь к рассмотрению разложения в ряд решения «настоящей» задачи механики, а именно к стандартному примеру возмущенного гармонического осциллятора вида

При это выражение соответствует разложению дифференциального уравнения маятника по угловому смещению х, ограниченное членом третьего порядка. Хотя уравнение (3.1.23) легко может быть проинтегрировано в терминах эллиптических функций, нас будет интересовать справедливость разложения по малым относительно решения для обыкновенного гармонического осциллятора. Следуя изложению Лихтенберга и Либермана [7], подставим (3.1.2) в (3.1.23), что дает

и т.д. Уравнение нулевого приближения (3.1.24а) имеет решение с начальным условием Подстановка в (3.1.246) дает

где мы воспользовались тригонометрическим тождеством Уравнение (3.1.25) представляет собой линейное неоднородное уравнение, которое может быть решено с помощью стандартных методов, описанных в главе 1. Общее решение имеет вид

и содержит секулярный член обусловленный тем, что второй «возмущающий» член в правой части (3.1.25) резонирует с собственной частотой колебаний. Понятно, что метод разложения по малым себя не оправдал — даже если ограничиться членами первого порядка, — поскольку мы знаем, что нелинейность системы стабилизирует резонанс. Выход из этого положения был найден Пуанкаре [10] и другими авторами и состоит в том, что по степеням необходимо разлагать не только амплитуду, но и частоту (Имея в виду предстоящее изучение «канонической теории возмущений» для гамильтоновых систем, заметим, что по степеням должны разлагаться оба набора канонических переменных (т. е. так что этот подход не должен вызывать большого удивления). Действительно, предположим, что периодическая функция переменной с периодом (указание на угловую переменную) и разложим в ряд обе величины

Далее воспользуемся соотношением

применительно к уравнению (3.1.23) и, приравнивая, как и раньше, степени получаем

и т. д., где штрих означает дифференцирование по новой переменной Уравнение (3.1.27а) также имеет стандартное линейное решение подстановка которого в (3.1.276) дает

С учетом требования, что должна представлять собой периодическую функцию, члены, определяющие секулярное поведение (т. е. пропорциональные в (3.1.28) необходимо устранить. Этого можно достичь, положив

что приводит к периодическому решению (3.1.246) с хорошим поведением,

Эту процедуру можно продолжить для более высоких степеней при условии правильного выбора поправок для частоты, устраняющих секулярные члены при каждой из степеней разложения. Отметим, что в обсуждаемом методе не только требуется разложение по степеням как х, так и но также предполагается, что х представляет собой периодическую функцию переменной Этой идее может быть придана гораздо более общая (и элегантная) формулировка, известная как каноническая теория возмущений.