4.2. Сохраняющие площадь отображения

4.2.а. Отображения поворота

Важный класс сохраняющих площадь отображений представляют собой отображения поворота. Удобный способ ввести их — и показать их взаимосвязь с гамильтоновыми системами — вновь вернуться к нашему обсуждению поверхностей сечения. Вспомним, что для системы с двумя степенями свободы поверхность сечения в случае траектории, лежащей на торе, представляет собой последовательность точек лежащих на гладкой кривой, которая образуется при пересечении тора поверхностью сечения. Кроме того, если отношение частот иррационально, последовательность X, заполняет кривую эргодически, тогда как при рациональном последовательность итераций конечна, что соответствует замкнутой траектории. Теперь, имея в виду интегрируемую систему, рассмотрим семейство вложенных торов, для которых в случае изоэнергетической невырожденной системы (см. отношение частот плавно меняется, скажем возрастает, от тора к тору. Рассматривая только один из этих торов, характеризующийся переменными действия (на энергетической поверхности , линейный поток на нем запишется в виде

где Время необходимое для полного поворота на равняется просто Изменение за это время составит

где величина именуемая числом вращения, представлена как функция так как на данной энергетической поверхности всегда можно выразить через Если теперь мы будем рассматривать плоскость

как поверхность сечения (см. рис. 4.7), то последовательные пересечения траектории (на данном торе) с этой плоскостью будут представлены точками Перейдя к обозначениям мы можем последовательность точек связанную с потоком на данном торе (с данным «радиусом» ), представить в виде отображения

где в качестве а выбирается плавно меняющаяся функция от Такое отображение называется отображением поворота. В представленном виде оно является довольно простым в том смысле, что единственная его функция состоит в перемещении точек, которое правда может быть как равномерным, так и дискретным, по данной окружности — равномерность имеет место в случае иррациональности а, дискретность — в случае рациональных а.

Рис. 4.7. (а) Точка - на торе, определяется переменными действие — угол Последовательность точек соответствующих отображению поворота на плоскости

Понятно, что (4.2.3) можно говорить как об интегрируемом отображении. Ясно также, что данная окружность состоящая из точек, будет отображаться в себя. Поэтому мы говорим, что отображение поворота переводит окружности в окружности, и символически записываем это в виде

Однако, поскольку число вращения возрастает с радиальная линия точек будет закручиваться под воздействием (рис. 4.8). Отсюда термин отображение поворота. Отображение (4.2.3) является, очевидно, сохраняющим площадь, так как

Отметим также, что в таком представлении не важно, записана ли величина а в уравнении (4.2.3а) как функция или Вскоре мы вернемся к этому вопросу.

В случае неинтегрируемых систем КАМ-теорема утверждает, что торы с рациональным отношением частот не «выживают». В терминах отображения поворота можно попытаться внести некоторое «неинтегрируемое» возмущение:

Рис. 4.8. Радиальная линия точек, закручивающаяся под действием отображения поворота

где должны быть выбраны таким образом, чтобы свойство сохранять площадь (4.2.5) по-прежнему выполнялось. Естественно возникает вопрос о сохранении окружностей при возмущении. Существенный вклад Мозера [8] в КАМ-теорему как раз и состоял в доказательстве того, что в случае достаточно малых возмущений и достаточно иррациональных значений числа вращения окружности сохраняются (см. раздел 3.5).