8.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области

8.2.а. Локальные представления

В случае самых простых нелинейных дифференциальных уравнений, таких как (8.1.9) и (8.1.11), характер подвижных особенностей можно определить исходя из вида точного решения. В большинстве случаев точные решения получить не удается, и характер подвижных особенностей устанавливают исходя из «локальных» свойств решений.

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение порядка вида

где функция аналитическая по независимой переменной z и рациональная по всем остальным аргументам. Поведение решения (решений) такого уравнения в подвижной особой точке определяется посредством анализа ведущего члена разложения. Записываем подстановку

где а и а необходимо определить, произвольная точка в комплексной z-плоскости (т.е. положение подвижной особенности). Подставляя (8.2.2) в (8.2.1) и приравнивая наиболее сингулярные члены, определяем а и а. Рассмотрим, например, уравнение второго порядка

В главе 1 было показано, что оно имеет точное решение в терминах эллиптических функций Вейерштрасса. Подстановка (8.2.2) дает

Наиболее сингулярные члены (т. е. вторая производная и должны совпадать в особой точке Приравнивание показателей степени дает значение Аналогично, должны быть равны и коэффициенты при этих сингулярных членах откуда находим Таким образом, в точке решение уравнения (8.2.3) ведет себя как (полюс второго порядка).

Отметим, что член более низкого порядка в этом уравнении не влияет на поведение в точке Усиление нелинейности в (8.2.3) приводит к изменению порядка сингулярности. Нетрудно показать, что уравнение

допускающее, как мы знаем, решение в терминах эллиптических функций Якоби, ведет себя в подвижной особой точке как (полюс первого порядка). Легко видеть, что дальнейшее усиление нелинейности приведет к подвижной точке ветвления.

Анализ ведущего члена позволяет охарактеризовать поведение решения только в особой точке. Для того, чтобы установить поведение в окрестности сингулярности, необходимо прибегнуть к локальному разложению в ряд. Если особенность действительно является неподвижным полюсом, такое разложение будет представлять собой простой ряд Лорана. Рассмотрим, например, уравнение (8.2.3). Мы уже установили, что в особой точке оно ведет себя как полюс второго порядка. Исходя из этого, ряд Лорана должен иметь вид

Самосогласованность этого разложения может быть проверена непосредственной подстановкой в уравнение. Это приводит к соотношению

которое можно упростить и свести к рекуррентным соотношениям для

где мы воспользовались тем, что Вычисления по этим рекуррентным соотношениям дают:

При получаем соотношение

правая часть которого обращается с учетом значений в ноль. Это означает произвольность а. Мы видим, таким образом, что ряд Лорана (8.2.5) имеет два произвольных параметра, последний характеризует произвольность положения полюса. Поскольку уравнение (8.2.3) представляет собой о. д. у. второго

порядка, его общее решение включает два произвольных параметра. Проведенный анализ показывает, что в (локальном) разложении Лорана это проявляется в виде произвольности Мы можем, таким образом, заключить, что в окрестности подвижной особой точки общее решение уравнения (8.2.3) действительно ведет себя как полюс второго порядка. Мы будем часто обращаться к этому результату, говоря, что уравнение (8.2.3) обладает свойством Пенлеве. В качестве упражнения можно показать, что уравнение (8.2.4) также обладает свойством Пенлеве; произвольными параметрами локального разложения

являются

Степени при которых появляются произвольные коэффициенты, часто называют резонансами. Резонансы можно находить с помощью простого метода без полных расчетов по рекуррентным соотношениям. Он основывается на подстановке

где должны быть определены посредством анализа ведущего члена. Исходя из (8.2.9), можно записать линейное относительно уравнение и определить значения при которых произвольно. Так, например, в случае уравнения (8.2.3) подстановка имеет вид

Оперируя наиболее сингулярными членами, получаем

Приравнивая линейные по члены, приходим к

Таким образом, для того, чтобы было произвольным, необходимо, чтобы либо либо Корень отвечает произвольности коэффициента соответствующего степеням в (8.2.5). Второй корень соответствует не степени (что не согласуется с уравнением), а определяет произвольность

Такой анализ позволяет определить лишь, какие коэффициенты должны быть произвольными. Так это или нет, необходимо затем проверить с помощью полного набора рекуррентных соотношений. Резонансам соответствуют как правило некоторые соотношения, называемые условиями совместности, которые должны быть выполнены для того, чтобы обеспечить произвольность коэффициента. Для уравнения (8.2.3), например, соответствующее условие совместности имеет вид В данном случае оно удовлетворяется при любом значении А. Для более сложных

задач часто оказывается, что произвольность может быть получена лишь при некоторых определенных значениях параметров системы. Если, например, уравнение (8.2.4) модифицировать, включив в него член, содержащий первую производную:

то коэффициент ряда (8.2.8) будет произвольным лишь при условии, что Если это условие не выполняется, простой ряд Лорана не может служить локальным представлением общего решения. В этом случае ряд необходимо обобщить таким образом, чтобы коэффициент при вновь стал произвольным. Новый ряд, называемый пси-рядом, указывает на то, что особенность уже не является простым полюсом и характеризуется сложной логарифмической многозначностью. Этот метод будет изложен в разделе 8.2.в.

До сих пор мы все время подразумевали целочисленность ведущих порядков и резонансов. Одна из этих величин или обе — в зависимости от порядка и характера нелинейности уравнения — вполне могут оказаться не целыми (например, иррациональными или комплексными). Понятно, что в этом случае особенности не являются простыми полюсами и рассматриваемая система не обладает свойством Пенлеве. А поскольку, как следует из работы Ковалевской, свойство Пенлеве является критерием интегрируемости, мы видим, что уже на уровне анализа ведущих членов и резонансов это дает простой аналитический «намек» на неинтегрируемость системы.

В заключение этого подраздела сделаем несколько замечаний относительно существенных особенностей. Это такие особенности, локальные разложения которых имеют бесконечное число отрицательных степеней. В качестве простого примера может служить неподвижная существенная особенность решения линейного уравнения первого порядка (8.1.8). В этом случае локальное разложение записывается следующим образом:

В случае нелинейных уравнений первого порядка вида

оказывается, что для широкого класса такие уравнения могут иметь только подвижные полюсы и алгебраические точки ветвления и при этом только неподвижные существенные особенности. Однако в случае нелинейных о. д. у. второго порядка существенная особенность может стать подвижной. Простым примером является о. д. у.

где у означает общее решение имеет вид

и обладает подвижной существенной особенностью при Наряду с подвижными существенными особенностями нелинейные о. д. у. второго порядка могут также

обладать подвижными логарифмическими и трансцендентными точками ветвления. Эти два типа особенностей могут быть определены в рамках локального анализа, тогда как нахождение существенных особенностей затруднительно, если решение не известно в явном виде. В настоящее время роль подвижных существенных особенностей в установлении интегрируемости конкретной системы понята недостаточно. Отметим также, что с повышением порядка дифференциальных уравнений могут возникать подвижные особенности еще более сложных типов.