1.6.а. Осциллятор с вынуждающей силой

Рассмотрим вначале незатухающий вариант системы (1.6.2):

Частное решение определяется легко: (использование комплексной формы однородного решения облегчает вычисления), и, следовательно, общее решение имеет вид

где амплитуда а и фаза 6 задаются уравнениями (1.1.3). Решение, таким образом, представляет собой суперпозицию колебаний с собственной частотой из и вынуждающей частотой О. Понятно, что оно нарушается при совпадении частот, что

является примером резонанса. Проследить поведение решения в пределе можно, записав (1.6.5) в виде

что всегда можно сделать, определив соответствующим образом амплитуду (а) и фазу (). Предел находим по правилу Лопиталя:

Второй, секулярный, член уравнения обеспечивает неограниченный линейный рост амплитуды при резонансе и физически описывает неограниченное поглощение системой энергии внешнего поля.

Такое поведение принципиально отличается от поведения нелинейных осцилляторов с вынуждающей силой, широко известным примером которых является осциллятор Дюффинга:

Соответствующая однородная задача легко решается в терминах эллиптических функций Якоби, но в данном случае период решения приобретает зависимость от энергии. Резонанс по-прежнему можно вызвать, если «раскачивать» систему с вынуждающей частотой совпадающей в точности с текущей собственной частотой. Но по мере поглощения энергии и возрастания амплитуды колебаний собственная частота также изменяется, выводя систему из состояния резонанса и препятствуя таким образом секулярному росту. Мы имеем здесь случай, когда нелинейность стабилизирует резонанс посредством механизма, который может быть назван «нелинейной обратной связью». Однако при очень больших значениях вынуждающей силы (т. е. при больших ) возможна обратная связь между внешним полем с одной стороны и собственным движением и его гармониками с другой. В этом режиме решение может приобрести хаотические черты, и его колебания во времени будут выглядеть весьма беспорядочными. Более подробно мы обсудим это в главе 4.