5.5. Бифуркации удвоения периода
Как ранее уже упоминалось, важным «механизмом возникновения турбулентности» является бифуркация удвоения периода. Замечательно, что таким сложным поведением обладают простейшие из всех возможных нелинейных отображений, а именно одномерные отображения вида
При этом 
должна удовлетворять определенным условиям. Среди таких отображений одним из наиболее известных является так называемое логистическое отображение
где А — подгоночный параметр. Первоначально оно использовалось главным образом в биологии в качестве простой модели динамики популяций (откуда и происходит название). Читателю рекомендуется обратиться к прекрасной и основополагающей статье [37], в которой описывается феноменология системы при изменении параметра А. При малых А все итерации сходятся (при условии, что 
к единственной предельной точке. Такое поведение сохраняется вплоть до значения 
При больших А единственная неподвижная точка превращается в результате бифуркации в пару неподвижных точек, т. е. в предельный цикл с периодом 2. Следующая бифуркация при дальнейшем возрастании А приводит к превращению предельного цикла с периодом 2 в предельный цикл с периодом 4, который в свою очередь превращается в предельный цикл с периодом 8 и т. д. Значения А, при которых происходят бифуркации 
становятся все ближе друг к другу и сходятся (геометрически) к критическому значению 
(примерно 0.892). В этой точке траектория становится апериодической. При больших значениях А начинают появляться как хаотические траектории, так и предельные циклы с нечетными периодами. При 
движение на единичном интервале (0,1) формально эргодично. При дальнейшем возрастании А все траектории уходят на бесконечность.
Один из наиболее значительных результатов принадлежит Фейгенбауму [33], который обнаружил геометрическую сходимость последовательности удвоения периода:
Определив величину
он численно нашел, что 
сходится (при 
к значению 
Существенно то, что и все другие нелинейные модели (5.5.1), отличающиеся видом 
(в пределах определенного класса), характеризуются тем же самым значением 6. В результате эта величина удостоилась названия «универсальное число». И хотя
эта «универсальность» ограничена относительно небольшим классом отображений и потоков (сюда относятся отображения Хенона, модель Лоренца и некоторые усечения уравнений Навье-Стокса, содержащие малое число мод), она легла в основу интересной теории и наблюдалась в ряде экспериментов.
