2.2.б. Уравнения Гамильтона

Уравнения движения Лагранжа определялись по заданному лагранжиану системы с помощью принципа Гамильтона. Естественно, что теперь мы хотим получить уравнения движения в рамках гамильтонова формализма. Это можно делать, основываясь на вариационном принципе (что обсуждается в разделе 2.3.в), но более прямым является следующий путь. Дифференциал функции задаваемой соотношением (2.2.1), имеет вид

Первый и третий члены в правой части взаимно уничтожаются по определению и с учетом соотношения находим:

Таким образом, мы получаем «канонические» уравнения движения или уравнения Гамильтона

и, кроме того, соотношение (для систем явно зависящих от времени)

Система уравнений (2.2.15) включает в себя уравнений первого порядка в отличие от системы уравнений второго порядка, полученной в формализме Лагранжа. В главе 1 было показано, что уравнение второго порядка, например, вида можно записать в виде пары уравнений первого порядка, введя новую переменную у — х, но необходимо подчеркнуть что они не обязательно будут иметь гамильтонову

форму. Рассмотрим задачу о соскальзывающей бусинки. Уравнения Гамильтона записываются в виде

Соответствующее уравнение Лагранжа имеет вид

Введя переменную получаем пару уравнений

которые, как легко видеть, существенно отличаются от уравнений (2.2.17).

Уравнения Гамильтона (2.2.15) обладают рядом важных свойств; пока мы ограничимся их обсуждением для случая не зависящих от времени гамильтонианов. Прежде всего, набор из переменных которые часто называются «каноническими» или «канонически сопряженными» переменными импульс, сопряженный с образует -мерное фазовое пространство (см. обсуждение фазового пространства в главе 1). Решение уравнений Гамильтона

где начальные условия, определяет механическое состояние системы в момент времени Со временем фазовая траектория, которая задается пробегает некоторые области фазового пространства. Вопрос о том, какие именно это области, представляет собой фундаментальную проблему, которую мы скоро обсудим.

Легко видеть, что уравнения (2.2.15) удовлетворяют условию «несжимаемости»:

Представим себе каплю «жидкости» фазового пространства — уравнение (2.2.21) утверждает, что объем этой капли остается постоянным. Таким образом, элемент объема фазового пространства в гамильтоновом потоке сохраняется — это и есть знаменитая теорема Лиувилля, описывающая одно из наиболее фундаментальных свойств гамильтоновых систем. Для задачи о соскальзывающей бусинки, например, из уравнений (2.2.17) легко видеть, что дивергенция фазового потока действительно равна нулю. Заметим, с другой стороны, что пара уравнений (2.2.19), полученных из лагранжиана, не сохраняет объем (в данном случае точнее сказать площадь) «фазового пространства» в плоскости

Уравнения Гамильтона столь симметричны относительно что представляется вполне естественным рассматривать переменные и как полностью равноправные. Во многих случаях удобно ввести единый «набор» из координат где Это позволяет записать уравнение Гамильтона для данного гамильтониана в кратком виде

где и матрица размерности называется симплектинеской матрицей

здесь 1 — единичная матрица.