4.7.в. Преобразование пекаря и системы Бернулли

Другим примером простого преобразования, обладающего необычными свойствами, является так называемое преобразование пекаря, которое может быть представлено в виде следующего отображения на единичном квадрате:

Оно соответствует повторяющимся удвоениям по z и делением пополам по у. Это отображение полностью обратимо, и при обращении происходит удвоение по у и деление пополам по х. Преобразование сохраняет площадь и, как видно из рис. 4.32, в некоторой степени напоминает раскатывание теста пекарем. Понятно, что и в этом случае небольшое число итераций отображения приводит к быстрому перемешиванию.

Рис. 4.32. Преобразование пекаря

Выраженно неупорядоченный характер этого простого преобразования проявляется, если представить итерации в двоичной системе, т. е. в виде последовательностей из нулей и единиц. Простые примеры двоичных чисел: и т.д. Более сложные числа, в частности иррациональные, представляются в виде бесконечных неповторяющихся последовательностей из нулей и единиц. Но в любом случае двоичное представление обладает важным свойством: удвоению числа соответствует перемещение двоичной точки на одну позицию вправо, а делению пополам — на одну позицию влево. Это свойство идеально подходит для описания преобразования пекаря. Начальное условие у о) представляется последовательностями

где либо нули, либо единицы. Положение этой точки в единичном квадрате удобно представить одной последовательностью, состыковав обращенную последовательность для с последовательностью для (отбрасывая нули, стоящие в разряде единиц):

Учитывая, что (прямой) итерации отображения соответствует удвоение по а: и уменьшение вдвое по можно получить простым переносом десятичной точки в (4.7.8) на одну позицию вправо:

То же самое можно проделать для последовательных Этот процесс известен как сдвиг Бернулли. Рассмотрим теперь более «крупнозернистое» описание движения, при котором траектории (или некоторой ее функции) ставится в соответствие 0 при и 1 при Это означает, что в (полном) двоичном представлении берется только первая цифра. В результате история движения в «крупнозернистом» представлении (т.е. последовательность итераций описывается последовательностью и т.д. Если же отображение пробегает от до история представляется двойной бесконечной последовательностью

(Вспомним, что в обратном направлении преобразования по и по у меняются друг с другом.) Несколько удивительным является то, что в случае типичных иррациональных начальных условий у о) соответствующее двоичное представление (4.7.7) является бесконечной неповторяющейся последовательностью нулей и единиц, и, следовательно, двойная бесконечная последовательность (4.7.10)

будет столь же случайной, как и последовательность, получаемая при (честном) бросании монеты (орел — 1, решка — 0). Таким образом, полностью детерминистическая динамическая система (4.7.6) задает движение, которое оказывается полностью случайным! Такая система известна как система Бернулли и представляет собой предельный случай неупорядоченности. Одним из наиболее важных результатов теории динамических систем является тот факт, что в окрестности любой гомоклинной точки отображения движение может быть локально представлено с помощью отображения со свойствами системы Бернулли. Мы уже видели, что в неинтегрируемых гамильтоновых системах множество гомоклинных точек плотно в окрестности гиперболических неподвижных точек. Так что сформулированный выше результат подтверждает представление о том, что хаотические, но при этом детерминистические, траектории, наблюдаемые в этих системах, действительно случайны по своей природе. Несколько интересных примеров этого приводит Берри [2].