4.1.г. Поверхность сечения как симплекгическое отображение

Фундаментальным свойством поверхности сечения в случае гамильтоновых систем является ее соответствие сохраняющему площадь или, точнее, симплектическому отображению. Для того чтобы понять, что под этим подразумевается, поучительно вначале напомнить некоторые уже рассмотренные нами ранее вопросы. Прежде всего, это теорема Лиувилля (главы 2.2 и 2.3), согласно которой фазовый объем гамильтонова потока остается неизменным. В случае систем с одной степенью свободы этому соответствует сохранение площади на фазовой плоскости Так, для некоторой области А, ограниченной замкнутой кривой, мы можем записать (используя теорему Стокса

где — форма кривой после ее трансформации в гамильтоновом потоке за время Обсуждаемые представления можно распространить на случай большого числа степеней свободы. Так, в случае потока траекторий в -мерном фазовом пространстве, охватываемого некоторым замкнутым контуром, вновь можно записать

где Конечно, в (4.1.9) интегралы уже не выражают просто площадь, как в случае Они соответствуют сумме площадей проекций области на множество (рис. 4.5). Именно в этом смысле мы называем отображение симплектическим (а не сохраняющим площадь); и, по сути, это

Рис. 4.5. Симплектическое сохранение площади. Площадь, ограниченная трансформирующимся контуром, является суммой проекций В гамильтоновом потоке эта сумма сохраняется

является одним из выражений того, что гамильтонов поток представляет собой каноническое преобразование. Для консервативных систем с двумя степенями свободы (типа обсуждавшихся выше) можно показать (см. приложение 4.1), что замкнутая область на поверхности сечения (т. е. будет под воздействием потока сохраняться.

Метод поверхности сечения можно также применять в случае зависящих от времени гамильтоновых систем. Особенно легко это реализовать в случае периодически возмущаемых систем с одной степенью свободы. Для соответствующего гамильтониана, который характеризуется тем, что

где период зависящей от времени части, фазовое пространство представляет собой трехмерное пространство переменных Поверхность сечения, сохраняющая площадь, получается просто как последовательность стробоскопических «мгновенных снимков» плоскости в моменты времени Множество точек образует требуемую поверхность сечения (рис. 4.6). Очевидно, что в этом случае — в противоположность обсуждавшимся выше автономным системам — промежутки времени между последовательными пересечениями являются равными.

Рис. 4.6. Трехмерное фазовое пространство периодически возмущаемой системы. Поверхность сечения конструируется из стробоскопических срезов при

Читатель не мог не обратить внимания, что при обсуждении метода поверхности сечения термин отображение встречается довольно часто. Но до сих пор этот термин использовался в достаточно неопределенном смысле как некое порождаемое

гамильтоновым потоком преобразование, которое перемещает фазовую точку X, в новое положение на фазовой плоскости, т. е. для некоторого отображения Т:

Кроме того, это преобразование является в некотором смысле «сохраняющим площадь» или симплектическим. В действительности понятие сохраняющего площадь отображения является чрезвычайно ценным средством для изучения гамильтоновых систем. Как будет показано ниже, такие отображения — даже если они очень простые — могут проявлять все общие свойства неинтегрируемых гамильтоновых систем, и в конце концов мы будем рассматривать эти два класса систем как в определенной мере эквивалентные. Благодаря относительной простоте отображений, многие теоремы в общем случае легче доказать для них, чем для гамильтонианов; в равной степени легче проводить численный анализ. Поэтому, стремясь научиться детально анализировать все явления, наблюдаемые, к примеру, в случае поверхности сечения системы Хенона-Хейлеса - такие, как разрушение торов, возникновение цепочек островов и хаотических траекторий — мы прежде всего исследуем свойства сохраняющих площадь отображений.