7.3.б. Аналогия с преобразованиями Фурье

Эта схема не столь оригинальна, как может показаться на первый взгляд. В действительности она в значительной мере напоминает использование преобразований Фурье при решении линейных эволюционных уравнений. Рассмотрим на интервале такое уравнение вида

где — многочлен по т.е. линейный оператор. В качестве простого примера может служить в этом случае (7.3.5) представляет собой обычное уравнение диффузии. Определим преобразование Фурье для как

Определим также «обратное» преобразование Фурье

Фурье-преобразование у. ч. п. (7.3.5) приводит к эволюционному уравнению для

Это линейное уравнение имеет простое решение

Соответствующие исходные данные определяются по заданным начальным условиям посредством соотношения

Эволюция «данных Фурье» определяется тривиальным соотношением (7.3.8); при любом соответствующем значении они могут быть обращены, что позволяет получить требуемую величину

Такой способ решения аналогичен предложенному Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой:

Диаграмма «Эволюция данных Фурье»

Метод ГГКМ, разумеется, более сложен в силу того, что эволюционные уравнения нелинейны. Для того, чтобы в нем разобраться, необходимо сначала более подробно обсудить прямую и обратную квантовомеханические задачи рассеяния.