2.2. Формализм Гамильтона

В гамильтоновой механике механическая система описывается в терминах обобщенных координат и обобщенных импульсов И хотя формализм Гамильтона не отличается от формализма Лагранжа по физическому содержанию, он гораздо лучше приспособлен для изложения квантовой механики, статистической механики и теории возмущений. В частности, использование гамильтонова фазового пространства создает идеальную основу для обсуждения понятий интегрируемости и неинтегрируемости и для описания хаотических явлений, которые могут иметь место в неинтегрируемых системах.

2.2.а. Переход к формализму Гамильтона

Перейти от формализма Лагранжа, основанного на переменных к формализму Гамильтона можно посредством стандартного преобразования Лежандра (см. приложение 2.1). С его помощью лагранжиан преобразуется по к новой функции, у которой выражается в терминах

Здесь представляют собой -мерные векторы а новая функция называется гамильтонианом системы. Основное соотношение, посредством которого выражаются через

может быть, при условии

обращено, что позволяет выразить через рассматривая (на данном этапе) как параметры. В качестве простого примера обсуждаемого преобразования рассмотрим лагранжиан

Для него находим

и поскольку условие (2.2.3) выполняется, обратное соотношение (тривиальное в данном случае) имеет вид

а гамильтониан, таким образом, записывается в виде

Лагранжиан (2.2.4) описывает важный класс механических систем, но взаимосвязь столь проста, что некоторые тонкости не проявляются. Стандартным примером менее тривиального преобразования служит случай движения частицы под действием силы тяжести, ограниченного гладким проводом заданной формы. Рассмотрим бусинку с массой плавно скользящую по проводу, форма которого описывается функцией в вертикальной -плоскости. Для начала представим себе неограниченное движение в этой плоскости. В формализме Лагранжа для его описания требуются две координаты и две скорости (т. е. кинетическая энергия, таким образом, имеет вид Включим далее в рассмотрение взаимосвязь между откуда находим Таким образом,

Потенциальная энергия определяется силой тяжести (т. е. следовательно, лагранжиан имеет вид

В соответствии с (2.1.5) обобщенный импульс вычисляется как

и отсюда

Таким образом, согласно (2.2.1) гамильтониан имеет вид