1.6. Неавтономные системы

Все рассмотренные до сих пор системы были автономны, т. е. время играло лишь роль независимой переменной и не входило явно в уравнения движения. Но нередко встречаются и ситуации, когда система подвергается воздействию некоторой внешней зависящей от времени силы Сюда, в частности, могут относиться толчки, испытываемые пучком частиц или отдельным атомом в поле излучения. Особый интерес представляют случаи, когда является периодической функцией, например, Рассмотрим в качестве примера затухающий осциллятор, совершающий вынужденные колебания:

здесь можно рассматривать как «параметр связи» — в пределе система вновь становится автономной. Важно понять, что двумерное в этом пределе фазовое пространство становится при трехмерным за счет дополнительной размерности

— «времени». Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим специальный случай периодической вынуждающей силы:

Если в качестве третьей независимой переменной выбрать можно представить в виде

При представление решений как непрерывных функций времени на фазовой плоскости имеет смысл. Но распространение этого подхода на случай О может привести к заблуждению, обусловленному пересечением фазовых траекторий, что находится в кажущемся противоречии с единственностью решений обыкновенных дифференциальных уравнений. На самом деле, эти пересечения являются лишь следствием проектирования трехмерного фазового пространства на двумерную плоскость

Дополнительное измерение может привести к принципиально новым типам поведения, и эволюция решений в случае нелинейных систем с вынуждающей силой может в некоторых случаях выглядеть хаотической — оставаясь при этом полностью детерминированной. Возможности аналитического подхода в этом случае сильно ограничены, и детальная картина может быть получена только с помощью компьютера. Эти вопросы мы будем подробнее обсуждать в следующих главах. А здесь ограничимся рассмотрением систем, для которых могут быть получены какие-либо аналитические результаты. Сюда относятся в основном линейные системы с вынуждающей силой; и хотя (детерминированный) хаос в этих системах не проявляется, полученные результаты послужат в качестве полезной основы для изучения нелинейных систем.

Уравнения вида (1.6.1) могут быть решены с использованием стандартных методов для неоднородных линейных уравнений. Обозначим в однородном для (1.6.1) пределе (т.е. при два независимых решения через а их (не обращающийся в ноль) вронскиан через

Решение уравнения (1.6.1) представляется в виде суммы общего однородного решения и частного решения: где функции определяются соотношениями