6.3. Квазиклассическое квантование в случае большого числа степеней свободы
В рамках старой квантовой теории большой интерес представляли попытки обобщить правило Бора-Зоммерфельда для систем с большим числом степеней
свободы 
Первоначально предполагалось, что это возможно только для сепарабельных систем (см. раздел 2.5). В этом случае каждая из переменных действия, отвечающая одной из степеней свободы, полагалась кратной 
, т.е.
где 
замкнутый контур, движение вдоль которого связано с 
степенью свободы, 
соответствующее квантовое число. В предположении, что переход к переменным действие—угол известен в явном виде, уровни энергии определяются условием
Отметим, что количество квантовых чисел совпадает с числом степеней свободы, и что в «старой» квантовой теории не было поправок, учитывающих энергию нулевых колебаний.
6.3.а. Условие квантования Эйнштейна
Довольно быстро стало понятно (см. [8]), что эта процедура неоднозначна: для системы, сепарабельной в различных системах координат (например, трехмерный изотропный гармонический осциллятор сепарабелен как в декартовых, так и в полярных координатах), могут быть получены неэквивалентные результаты. Эта проблема нашла свое решение в замечательной работе Эйнштейна [9], в которой было показано, что соотношение (6.3.2) может быть использовано для отыскания собственных значений лишь в том случае, если переменные действия определены в соответствии с уравнением (2.5.13)
т. е. в терминах инвариантных торов. В связи с этим Эйнштейн отмечал, что могут быть определены не во всех случаях, и что если движение в определенном смысле эргодично, то может возникнуть необходимость в «новом» типе условий квантования. Вскоре «новая» квантовая теория (т. е. волновая механика) сняла этот вопрос с повестки дня, и его актуальность — в свете наших изменившихся представлений о классической механике — была признана лишь недавно.
Условия квантования в старой квантовой теории (когда каждая переменная действия полагалась кратной 
содержали «энергию нулевых колебаний» лишь как эмпирическую поправку. При рассмотрении одномерных волновых функций ВКБ мы видели, что этот член возникает естественным образом как потеря фазы на каустиках. Для многомерных задач обобщение возможно при условии, что соответствующая волновая функция будет корректно определена.
