7.2. Основные свойства уравнения КдФ
Уравнение КдФ, которое в дальнейшем мы будем рассматривать в виде (7.1.3), объединяет две противоположные тенденции: (1) «формирование» волны, обусловленное нелинейностью (член 
) и (2) «распыление» волны, обусловленное дисперсией (член 
).
7.2.а. Эффекты нелинейности и дисперсии
В случае гладких начальных условий, таких, например, как были рассмотрены Забуским и Крускалом [9], член иххх относительно мал по сравнению с нелинейным членом, и можно считать, что начальная эволюция определяется соотношением
Это стандартное квазилинейное у. ч. п. первого порядка, для которого возможны решения типа ударной волны. Вкратце это можно проиллюстрировать следующим образом. Рассмотрим решение уравнения (7.2.1) в виде
где посредством 
параметризуются определенные пути в плоскости 
называемые характеристиками. Из дифференциального уравнения
находим
Система уравнений (7.2.4) легко может быть проинтегрирована; в результате получаем (опуская постоянные интегрирования):
где 
начальное условие для (7.2.1). Таким образом, вдоль характеристик, определяемых соотношениями (7.2.5а), решение 
постоянно, т. е. сохраняет начальную амплитуду, заданную при 
Но при этом характеристики, представляющие собой прямолинейные пути, имеют наклон, который пропорционален 
и при определенной форме этих начальных условий могут пересекаться. При этом, как видно из рис. 7.1, волна становится все более крутой, что приводит в конце концов к явлению, известному как образование ударной волны.
(кликните для просмотра скана)
По мере того как волна становится круче, возрастает роль члена иххх в (7.1.3), и возникает необходимость проанализировать влияние линейной части уравнения
на эволюцию волны. Такое уравнение всегда допускает решение в виде
и непосредственная подстановка в (7.2.6) дает «дисперсионное соотношение»
Таким образом, чем больше волновое число, тем больше фазовая скорость, задаваемая соотношением 
и волна (7.2.7) будет распространяться. В определенном смысле дисперсионный эффект компенсирует нелинейный, в результате чего образуются устойчивые уединенные волны.
