6.1.б. Квазиклассический предел для задач, не зависящих от времени

В случае стационарных квантовомеханических состояний временная и пространственная зависимости волновой функции разделены, что позволяет записать

где энергия стационарного состояния. Теперь точная подстановка (6.1.4) может быть представлена как

и (6.1.5) приобретает вид

В этом случае предел дает не зависящее от времени уравнение Гамильтона-Якоби:

где

здесь является некоторой начальной точкой на данной траектории. Формальный предел эквивалентен требованию

и если переобозначить (см. (2.3.20а)), то неравенство может быть представлено в виде

В случае одномерных задач это условие имеет простую интерпретацию в терминах длины волны де Бройля а именно

откуда следует, что приближение справедливо лишь в том случае, когда длина волны де Бройля медленно изменяется на расстоянии, сравнимом с ней по порядку величины. Это — хорошо известный результат (см., например, прекрасный учебник квантовой механики [3]), который позволяет также показать, что обсуждаемое условие нарушается в окрестности точек возврата при движении классической частицы. При тех режимах, при которых условие (6.1.15) справедливо, мы имеем схему, позволяющую получать приближенные решения уравнения Шрёдингера с использованием классических величин. В квантовой механике эта схема известна как квазиклассическое приближение, которое часто называют также ВКБ (Венцеля—Крамерса-Бриллюэна) приближением.