7.4. Обратное преобразование рассеяния: уравнение КдФ

Напомним еще раз, что возникающую в уравнении КдФ

переменную следует рассматривать как деформационный параметр, а не как «настоящее» время. С учетом этого в уравнении Шрёдингера может фигурировать зависимость собственного значения от

где и это не должно приводить к путанице.

7.4.а. Изоспектральная деформация

Если представить, воспользовавшись выражением (7.4.2), и как функцию

то приходим к соотношению

и к аналогичным соотношениям для и иххх. В двух последних соотношениях целесообразно избавиться от третьих производных по х и от производных более высокого порядка, повторно используя (7.4.2). Действуя таким образом, можно привести уравнение КдФ к виду

где

В случае собственных функций связанных состояний квадрат интегрируем, и, таким образом, интегрирование обеих частей (7.4.5) в интервале дает

С учетом того, что представляет собой просто ненулевую постоянную, (7.4.7) означает, что

Этот результат чрезвычайно важен, так как из него следует, что, если потенциал деформируется в соответствии с уравнением КдФ, собственные значения связанных состояний остаются неизменными! Это пример того, что называют изоспектральной деформацией. В непрерывной части (при решение уравнения Шрёдингера существуют для любого значения А. Мы можем, таким образом, просто говорить о том, что каждому положительному значению энергии соответствует определенное значение А и, следовательно, В любом случае (7.4.5) дает

и, используя (7.4.2) для мы можем представить это соотношение в виде дифференциального уравнения второго порядка относительно

Общее решение уравнения (7.4.10) имеет стандартный вид

где два линейно независимых решения. Очевидно, что одним из этих решений является сама собственная функция (достаточно просто сопоставить (7.4.2)

и (7.4.10)). Стандартный прием отыскания второго решения состоит в вычислении как

Это легко проверить, убедившись, что вронскиан В то же время, исходя из асимптотических свойств (7.4.10), нетрудно показать, что как для связанных состояний, так и для непрерывной области спектра. (В пределе принимает вид и с учетом асимптотической формы в (7.4.11) может быть удовлетворено в случае нетривиального только если В итоге получаем

В случае связанных состояний мы можем также показать, что и Умножив обе части (7.4.13) на приходим к

и переписываем это выражение в виде

Поскольку квадрат собственных функций связанных состояний интегрируем, мы можем проинтегрировать это выражение по

Второе слагаемое в левой части (7.4.16) равно нулю — так же, как и первое слагаемое, в силу постоянства нормировочного интеграла. Таким образом, и мы получаем