2.3. Канонические преобразования

При лагранжевом описании системы (т. е. в терминах обобщенных координат и скоростей в некоторых случаях удобно перейти к некоторому новому набору обобщенных координат:

что позволяет упростить интегрирование уравнений движения (примером может служить переход от декартовых координат к полярным). В формализме Гамильтона имеется два набора независимых переменных, которые, как мы уже говорили, во многом равноправны. Таким образом, возникает необходимость рассмотреть возможность перехода от одного набора фазовых переменных к некоторому другому набору т. е.

Подчеркнем, что каждая из новых координат может в общем случае зависеть от всех Преобразования, которые позволяют выразить новые

только через старые а новые только через старые в уравнении (2.3.1)), называются точечными преобразованиями. Преобразования вида (2.3.2), не нарушающие симплектическую структуру системы, называются каноническими преобразованиями. Нестрого говоря (более точная, геометрическая интерпретация будет дана позднее), это означает, что каноническая форма уравнений Гамильтона остается неизменной, т. е.

где преобразованный гамильтониан. (Переход от не всегда представляет собой простую подстановку переменных — см. ниже.)

2.3.а. Сохранение фазового объема

Фундаментальным свойством канонических преобразований является сохранение фазового объема. Пусть произведение представляет собой элемент объема в, «старом» фазовом пространстве, а произведение в «новом»; при этом требование равенства объемов выражается соотношением

где интегрирование осуществляется по заданному -мерному объему в фазовом пространстве. Интегралы связаны между собой посредством якобиана

Отсюда следует, что якобиан преобразований, сохраняющих объем, должен быть равен единице:

Рассмотрим очень простой пример

В этом случае

откуда следует, что преобразование (2.3.7) сохраняет объем (является каноническим). Это преобразование иллюстрирует степень равноправности их можно поменять местами, но при этом нужно изменить знак. Подчеркнем, что без перемены знака (т.е., если якобиан будет равен —1. В действительности, необходимость изменения знака не должна вызывать удивления, поскольку она необходима для сохранения формы уравнений Гамильтона (2.3.3), когда меняются местами.

Примером неканонического преобразования может служить переход от полярных координат к декартовым:

Так как

то фазовый объем не сохраняется.

Теорема Лиувилля утверждает, что фазовый объем в гамильтоновом потоке сохраняется; мы получили ее в разделе 2.2.6 как практически очевидное условие несжимаемости, которое следует из формы уравнений Гамильтона. На языке канонических преобразований мы можем сформулировать теорему Лиувилля следующим образом. Рассмотрим в фазовом пространстве некоторую траекторию, вдоль которой начальные значения отвечающие моменту времени изменяются за (короткий) промежуток времени до значений е.

Если переход от действительно представляет собой каноническое преобразование одного набора переменных в другой, то якобиан должен быть равен единице. Вычисляем

Заметим, что в ноль обращается член а не Из того, что рассматриваемое изменение пропорционально следует, что общее изменение площади за любой конечный промежуток времени (кратный ведет себя как т. е. обращается в ноль в пределе Таким образом, «инфинитезимальное преобразование», порождаемое самим гамильтонианом, является каноническим. Фазовый объем в переменных сохраняется при переходе (в гамильтоновом потоке) к «новым» переменным что по сути и утверждается теоремой Лиувилля.