1.4. Линейный анализ устойчивости
Глобальный фазовый портрет особенно легко может быть построен для консервативных (одномерных) систем. Важную роль при этом играют точки равновесия, характеризующиеся определенным локальным поведением: вокруг устойчивых точек формируются совокупности замкнутых кривых; кривые в окрестности неустойчивых точек имеют гиперболический характер. В случае неконсервативных систем, если явное решение уравнения движения неизвестно, глобальный фазовый портрет построить сложно. Однако всегда можно построить приближенный локальный фазовый портрет, определив точки равновесия (которые в дальнейшем мы будем называть неподвижными точками) и нарисовав в их окрестности фазовые траектории. Неподвижные точки можно рассматривать как «организующие центры» динамики системы в фазовом пространстве. Таким образом, определив эти точки и исследовав характер их устойчивости, можно построить глобальную картину поведения системы.
1.4.а. Матрица устойчивости
Рассмотрим системы второго порядка общего вида:
где 
представляют собой произвольные (обычно нелинейные) гладкие функции 
Неподвижными точками являются такие значения 
обозначаемые 
для которых фазовый поток стационарен (т. е. 
Этим условиям может отвечать любое количество точек 
в зависимости от точного вида функций 
После того, как эти точки найдены, их устойчивость можно определить, изучив поведение при малых смещениях 
в окрестности 
Разложим 
в ряд по 
Если ограничиться членами первого порядка, то (1.4.3) можно представить в виде линейной системы (1.4.4), которую мы будем называть «линеаризованными» уравнениями (это приближение первого порядка не следует смешивать с методом точной линеаризации, упомянутым на с. 7):
где матрицу 
(обозначаемую через 
часто называют матрицей устойчивости. Система линейных уравнений первого порядка (1.4.4) (которую не сложно обобщить на случай системы 
порядка вида 
легко разрешима в терминах собственных значений 
определяющих устойчивость соответствующих неподвижных точек. Обозначим вектор-столбец 
через 
а два
собственных вектора, соответствующих двум собственным значениям 
через 
тогда общее решение (1.4.4) представляет собой линейную комбинацию
где 
произвольные коэффициенты, а собственные значения являются корнями уравнения
здесь I — единичная матрица. Из наших предыдущих рассуждений понятно, что в случае чисто мнимых 
смещение будет просто обращаться вокруг соответствующей неподвижной точки, и локально фазовые траектории будут представлять собой замкнутые эллипсы, что несомненно указывает на устойчивую неподвижную точку. Если, напротив, 
имеют действительную часть, то смещение в зависимости от знака будет затухать или возрастать экспоненциально, указывая соответственно на определенный тип устойчивости или неустойчивости. Существует целый ряд комбинаций, каждой из которых отвечает неподвижная точка определенного типа; их классификация приводится ниже. Отметим, кстати, что хотя тип устойчивости определяется собственными значениями 
не следует также пренебрегать собственными векторами 
их вид указывает направление локальных фазовых потоков.
