1.2.г. Уравнение маятника

Классическое уравнение маятника является наиболее важным нелинейным уравнением, которое может быть точно проинтегрировано в терминах эллиптических функций Якоби. Легко показать, что уравнение движения колеблющейся частицы единичной массы имеет вид

где в — угол отклонения, длина нити, гравитационная постоянная (рис. 1.1). В пределе малых отклонений можно ограничиться первым членом разложения функции в ряд, что приводит к стандартному уравнению движения для обыкновенного гармонического осциллятора (ср.

Решение этого уравнения имеет характеристическую частоту Первый интеграл (1.2.23) вновь можно рассматривать как (приведенную) механическую энергию системы:

(Здесь , где истинная энергия системы с массой Квадратура принимает вид

(для удобства мы опустили вторую постоянную интегрирования, которая в данном случае просто играет роль сдвига по фазе). Интеграл в (1.2.26) может быть преобразован в интеграл первого рода, подобного (1.2.11). Для этого прежде всего необходимо ввести переменную в результате чего (1.2.26) запишется как

Используя преобразования после несложных выкладок (1.2.27) принимает желаемый вид

где явный вид модуля соответствует: Обращение в терминах эллиптической функции Якоби немедленно дает

и мы приходим к требуемому результату, выразив в как явную функцию времени:

Также как в случае линейной задачи, период движения может быть вычислен как определенный интеграл в (1.2.26). Интервал интегрирования ограничен здесь положением равновесия и классической «точкой возврата» которая по определению является переменной Легко показать, используя преобразования что в терминах эта точка возврата в точности соответствует Учитывая, что период определяется как время, необходимое для завершения полного цикла движения (т. е. от точки к точке во, затем к точке и обратно к интеграл (1.2.28), вычисленный в пределах от 0 до должен быть умножен на 4:

Выражение для периода, таким образом, представляет собой полный эллиптический интеграл, умноженный на простой фактор. Поскольку предельное поведение (1.2.29) дает

что в точности представляет собой период обыкновенного гармонического движения, описываемого уравнением (1.2.24). Заменив модуль в (1.2.31) дополнительным модулем можно вычислить комплексный период

двоякопериодического движения. На первый взгляд понятие комплексного периода для маятника может показаться лишенным физического смысла. Его, однако, можно рассматривать как период, который маятник имел бы при изменении знака гравитации, т. е. если бы мир был перевернут с ног на голову. Это легко видеть из определения