6.7.г. Вычисление следа пропагатора

Для обсуждения вопросов, связанных с вычислением следа пропагатора, удобно ввести обозначение

где время эволюции от След, определяемый как

состоит из вкладов различных путей, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же точке. Различают два типа вкладов:

(1) пути нулевой длины; при

(2) пути с длиной «в n шагов»; при

Нетривиальный вклад в след дает только путь второго типа. Нам необходимо, используя квазиклассическое выражение для К (6.7.24), вычислить

причем понятно, что Снова используем метод стационарной фазы; точки стационарности фазы определяются теми путями, которые удовлетворяют условию

Эти пути соответствуют замкнутым траекториям системы, поскольку они начинаются и заканчиваются в одной и той же точке как в -пространстве, так и (согласно в -пространстве. Расчет возможен при условии, что каждая замкнутая траектория изолирована (к этому вопросу мы вернемся позже). Вычисление амплитуды в высшей степени нетривиально. Она имеет вид

и, как может быть показано (подробнее см. [42]), прямо пропорциональна (определенному в разделе 4.6) вычету траектории. В итоге находим, что вклад каждой замкнутой траектории в определяется соотношением

где означает действие вдоль замкнутой траектории.

Замкнутые траектории распадаются на три категории.

(1) - траектории устойчивы, и на фазовой плоскости отображения проявляются в виде эллиптических неподвижных точек. Вычет может быть представлен в виде

где так называемый угол устойчивости.

(2) - траектории неустойчивы, что соответствует гиперболическим неподвижным точкам. В этом случае и

(3) - траектории также неустойчивы, но этой ситуации отвечают гиперболические неподвижные точки с отражением. В этом случае и

Возвращаясь к полученному методом стационарной фазы соотношению (6.7.29), необходимо также учесть существование вклада от повторных прохождений каждой траектории. Поэтому окончательный результат для заданной устойчивой траектории имеет вид

где соответствует числу прохождений траектории; множитель 1/2 в (6.7.29) исчезает в результате того, что учитываются вклады как «прямых», так и «обратных» прохождений. Соответствующий результат для гиперболических неподвижных точек имеет вид

а для гиперболических неподвижных точек с отражением получаем

В каждом из соотношений (6.7.33), (6.7.34) и (6.7.35) показатель соответствует действию вдоль одного витка данной траектории.

В случае устойчивых траекторий серьезным недостатком соотношения (6.7.33) является расходимость при всех значениях кратных Она обусловлена появлением каустики в классическом пропагаторе и не позволяет применить метод стационарной фазы для вычисления (6.7.29). В случае выражения (6.7.34), соответствующего гиперболическим траекториям, также возникает проблема расходимости — но только при значении что на практике встречается редко. Решение этой проблемы нетривиально, и для устранения расходимостей были предложены различные приближения «первого порядка» для (6.7.33) и (6.7.34). В конечном итоге цель может быть достигнута за счет необходимых изменений приближения стационарной фазы (имеются в виду однородные приближения), позволяющих учесть слияние точек стационарности.

Подытожив изложенные результаты, приходим к квазиклассическому представлению плотности состояний (6.7.14) в терминах вкладов замкнутых траекторий. Окончательно получаем

где средняя плотность состояний; вклад путей с нулевой длиной); сумма по означает суммирование вкладов топологически различных траекторий. Три члена под знаком суммы в (6.7.36) соответствуют вкладам траекторий, относящихся к трем различным типам устойчивости: