8.2.б. Общие и особые решения

До сих пор мы имели дело с локальными представлениями общих решений, которые представляют собой разложения, содержащие столько произвольных параметров, каков порядок уравнения. Важно понимать, что наряду с этим могут также существовать решения с меньшим числом произвольных параметров; такие решения называются особыми. Рассмотрим в качестве простого примера нелинейное о. д. у. первого порядка

Общее решение имеет вид , где — единственный произвольный параметр. Это решение имеет ряд подвижных полюсов в точках Наряду с этим уравнение (8.2.17) имеет также особое решение не содержащее произвольных параметров.

Оказалось, что особые решения, если они существуют, играют важную и довольно тонкую роль в определении интегрируемости дифференциального уравнения. Эти особые решения представляют собой не что иное как огибающие семейств общих решений. Мы проиллюстрируем общую идею на примере уравнения Клеро. Рассмотрим уравнение первого порядка

где означает Общее решение имеет вид

где с — единственный произвольный параметр. Дифференцирование уравнения (8.2.18) по z приводит к

Это уравнение имеет два решения: Однократное интегрирование решения (а) дает и после подстановки в (8.2.18) получаем однопараметрическое общее решение (8.2.19). Решение (б) можно представить в виде и подстановка его в (8.2.18) приводит к (непараметрическому) особому решению

Построив зависимость и семейство (для различных значений с) зависимостей мы убедимся, что действительно является огибающей

Рис. 8.1. Общие и особое решения уравнения Клеро (8.2.18). Пунктирными линиями показано однопараметрическое семейство общих решений при различных значениях с; сплошная линия соответствует особому решению и является огибающей общих решений