2.4. Уравнение Гамильтона-Якоби и переменные действие—угол

Наша цель состоит в отыскании канонического преобразования для набора постоянных сопряженных импульсов (как в уравнении Для этого необходимо найти подходящую производящую функцию. Она должна принадлежать к функциям типа т.е. зависеть от «старых» координат и «новых» импульсов, которые мы обозначим здесь через Производящую функцию записываем в виде Исходя из (2.3.25), получаем соотношения

где новые координаты, сопряженные с В соответствии с (2.3.22) соотношение между «новым» гамильтонианом и «старым» имеет, таким образом, вид

Правую часть (2.4.2) следует рассматривать как постоянную величину, т. е. как значение гамильтониана. Уравнение (2.4.2) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных относительно содержащее независимых переменных Оно известно как не зависящее от времени уравнение Гамильтона-Якоби. «Полное решение» уравнений такого типа

содержит независимых постоянных интегрирования; они могут выступать в качестве набора Решение уравнения Гамильтона-Якоби эквивалентно решению канонических уравнений движения. В общем случае за исключением класса механических систем, известных как сепарабельные (они будут обсуждаться ниже) это достаточно сложная задача (как и должно быть в соответствии с принципом «сохранения сложности», подтверждаемым каждодневным опытом физиков!). Все же мы можем, по крайней мере, усмотреть вид решения из соотношений (2.4.1). При заданном наборе а, имеем:

Таким образом, представляет собой линейный интеграл

где начальная точка на классической траектории, отвечающей данному набору движущаяся (зависящая от времени) точка на этой траектории. Следовательно, для отыскания решения в явном виде мы должны знать истинный классический путь от до, к е. знать решение задачи.