4.5. Критерии локального хаоса

4.5.а. Показатели Ляпунова

Важная особенность хаотического движения — чрезвычайная чувствительность к малым изменениям в начальных условиях. Близко расположенные траектории экспоненциально разбегаются во времени в отличие от регулярных траекторий, которые разбегаются лишь линейно. (Отметим, что такое разбегание не может, безусловно, продолжаться бесконечно в ограниченном фазовом пространстве.) Точная количественная оценка скорости разбегания может быть дана в терминах показателей Ляпунова, которые служат мерой средней скорости экспоненциального разбегания соседних траекторий. Показатели Ляпунова чрезвычайно полезны при описании

динамических систем, и возможность их использования ни коим образом не ограничивается гамильтоновыми системами, рассматриваемыми в этой главе. Поэтому, чтобы не утрачивать общность рассуждений, мы будем рассматривать некоторую (автономную) систему, описываемую дифференциальными уравнениями

При изучении устойчивости данной неподвижной точки мы подвергали линеаризации уравнения движения в окрестности этой точки. Теперь мы будем линеаризовать уравнения движения в окрестности произвольной базовой траектории с целью получить касательное отображение:

Норма

задает меру разбегания двух соседних траекторий, т. е. базовой траектории х и соседней с ней траектории, имеющей начальные условия Средняя скорость экспоненциального разбегания определяется следующим образом:

где Помимо этого, можно показать (пояснения будут даны ниже), что существует набор из таких величин Эти величины называются характеристическими показателями Ляпунова и могут быть упорядочены:

В случае регулярного движения показатели равны нулю, поскольку возрастает со временем лишь линейно (либо алгебраически).

Чтобы лучше понять обсуждаемые идеи, целесообразно прежде всего рассмотреть показатели Ляпунова для отображений. Простейший возможный случай — одномерное отображение вида

где некоторая простая нелинейная функция х, например, Замечательные динамические свойства такого отображения будут более подробно описаны в главе 5. Касательное отображение имеет простой вид

где производная от вычисляемая в каждой точке вдоль данной траектории. Соответствующий показатель Ляпунова легко находится по аналогии с (4.5.3):

Показатель а не зависит от начальной точки (кроме множества меры ноль начальных условий). Читателю, вероятно, не составит труда проверить для случая что

В случае многомерных отображений

где -мерные векторы, имеется набор из характеристических показателей, соответствующих собственным значениям соответствующего касательного отображения. Вводя в рассмотрение собственные значения матрицы

где линеаризация в точке показатели можно определить в виде

Должно быть понятно, что в случае сохраняющих площадь отображений и гамильтоновых потоков сумма показателей должна равняться нулю, что гарантирует сохранение фазового объема.

Теперь вернемся к случаю потоков, описываемых уравнениями (4.5.1), и запишем (4.5.2) в векторном виде:

где и линеаризованная матрица с элементами Должен существовать такой набор базисных векторов что Скорости растяжения (или сжатия) в каждом из направлений задают набор показателей которые могут быть упорядочены так же, как в (4.5.5). Понятно, что с течением времени малый элемент объема будет в наибольшей степени растянут в том направлении которому соответствует наибольший показатель. В конкретном случае (4.5.4) будет давать именно это значение показателя согласно В случае гамильтоновых систем с степенями свободы вектор становится -мерным соответственно, показателей будет штук. Но при этом они обладают определенной симметрией, а именно

То есть любое растяжение в одном «направлении» компенсируется сжатием в другом, что и обеспечивает выполнение теоремы Лиувилля. Если же показатели вычисляются на заданной энергетической поверхности, то пространство имеет размерность . При этом из (4.5.12) следует, что два (или более, в зависимости от динамики) показателя должны равняться нулю.

Расчет показателей в случае -мерных потоков (в отличие от отображений) нетривиален. Рассмотрим, например, вычисления в соответствии с определением (4.5.4). Если норма возрастает экспоненциально, возникает опасность переполнения компьютера и связанных с этим ошибок. Чтобы избежать этого, можно использовать схему, предложенную Бенеттин с соавт. [19]. Исходная норма в этом методе нормируется на единицу, и производится расчет разбегания за некоторый период времени после чего норма вновь перенормируется на единицу.

Таким образом (см. рис. 4.24) вычисляется последовательность величин

Здесь означает евклидову норму и

где рассчитывается из (4.5.2) с начальными значениями вдоль базовой траектории х от до По аналогии с (4.5.4) можно определить

Более того, для не слишком больших можно показать, что предел существует и не зависит от Действительно, может быть показано, что

где наибольший показатель из набора (4.5.5). Расчет полного спектра показателей Ляпунова а... требует более изощренных методов; обсуждение этого важного вопроса лучше оставить специалистам (см. [20]).

Рис. 4.24. Расчет наибольшего показателя Ляпунова. В конце каждого периода расстояние от базовой траектории вновь приводится к

Существует величина, так называемая энтропия Колмогорова (КС-энтропия), которая связана с показателями Ляпунова, но гораздо труднее вычисляется на практике. Формально она определяется по аналогии с энтропией в статистической механике (т. е. учитывает разбиения фазового пространства и т. д.) и служит мерой количества информации, потерянной или приобретенной системой в ходе эволюции. Замечательный результат Песина [21] дает возможность рассчитывать энтропию Колмогорова, исходя из показателей Ляпунова посредством соотношения

которое представляет собой сумму всех положительных показателей Ляпунова, усредненную по некоторой (связной) области фазового пространства с мерой Очень ясное введение в круг этих идей, включающее расчет для системы Хенона—Хейлеса, было дано Бенеттин с соавторами [19].