7.6. Гамильтонова структура интегрируемых систем

Одним из важнейших свойств солитонных уравнений является то, что они представляют собой интегрируемые гамильтоновы системы. Здесь мы дадим лишь беглый обзор этого факта, который, в свою очередь, поможет установить связь между свойствами систем с конечными степенями свободы, описанными в главах 2 и 3, и их непрерывными аналогами, которые будут обсуждаться в настоящей главе.

7.6.а. Функциональная производная

Для дальнейшего анализа нам понадобится такое важное математическое понятие как вариация или вариационная производная, получить представление о котором совсем нетрудно, если вспомнить вариационный принцип, описанный в главе 2. Рассмотрим некоторый функционал вида

где является некоторой функцией от и (здесь Очевидным примером функционала (7.6.1) является функционал действия, в котором роль играет лагранжиан, а роль координата Обычная производная (скажем, некоторой функции определятся как результат придания аргументу функции малого приращения, т.е. Вариационная производная отражает эффект малой вариации функции т.е. входящей в . Соответственно, мы можем вычислить первую вариацию функционала обычным способом, полагая

где подразумевается, что вариация обращается в нуль в конечных точках Разлагая подынтегральное выражение в первом слагаемом с точностью до первого порядка по получаем

где Интегрируя второе слагаемое по частям (и предполагая, что приходим к стандартному результату

Выражение, стоящее под знаком интеграла, называется вариационной производной и обозначается Таким образом,

Рассмотрим теперь более общий случай, когда является функцией произвольного числа производных от и,

где введено обозначение Нетрудно показать, что в данном случае вариационная производная вычисляется по формуле

где чередование знаков объясняется многократным интегрированием по частям, необходимым для того, чтобы привести к виду

Приведем несколько простых примеров. Для функционала

получаем

а для функционала

имеем

В качестве менее тривиального примера функционала рассмотрим сохраняющуюся плотность в уравнении т.е.

для которой вариационная производная равняется

Таким образом, уравнение КдФ может быть записано в виде

где выражение для функционала дается формулой (7.6.10).

Функциональную производную можно определить и следующим образом. Рассмотрим функционал (7.6.1), в котором и является функцией также и некоторого параметра а (т. е. так что

Производная от по а легко находится в соответствии с правилом дифференцирования сложных функций:

здесь Интегрируя снова по частям (и считая вклад от конечных точек нулевым), приходим к следующему выражению:

которая также может быть записана в виде

Последнее выражение, по сути, служит определением (Оно может быть очевидным образом обобщено и для случая (7.6.6).)

7.6.б. Гамильтонова структура уравнения Кортвега—де Фриза

Впервые на гамильтонова природа уравнения (7.6.12) была показана в работе Гарднера [22]. В нашем изложении мы будем следовать его подходу. При выводе решения уравнения КдФ Гарднер предположил, что это решение является периодичным на интервале Следовательно, и может быть разложено в ряд Фурье,

где набор комплексных коэффициентов. Рассматривая заданный в (7.6.10) функционал как функцию от множества «параметров» и и используя (7.6.16), получаем выражение

при выводе которого также было использовано разложение (7.6.17). Равенство (7.6.18) позволяет получить разложение в ряд Фурье величины Имеем

С учетом (7.6.12) уравнение движения для отдельной моды и принимает вид

Если при определить переменные

то (7.6.20) можно представить в явно гамильтоновой форме:

Следовательно, можно определить скобки Пуассона двух функционалов как

Опираясь на формулу (7.6.19), легко показать, что (7.6.23) может быть представлено в виде

которое можно принять за определение скобок Пуассона Несложно показать, что так определенные скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби.

Напомним, в разделе 7.2 было показано, что уравнение КдФ обладает бесконечным числом сохраняющихся плотностей вида

где для периодических систем интегрирование ведется в пределах ( а для неограниченных систем — в пределах Ввиду того, что являются сохраняющимися величинами (т. е. константами движения), их скобки Пуассона с гамильтонианом определенным формулами (7.6.21) и (7.6.10), должны обращаться

в нуль:

Кроме того, можно показать, что попарно коммутируют между собой,

для всех тип. Это свойство является непрерывным аналогом (2.5.11) для интегрируемых гамильтоновых систем с конечным числом степеней свободы. Таким образом, уравнение КдФ может рассматриваться как полностью интегрируемая гамильтонова система с бесконечным числом степеней свободы. Продолжая аналогию с конечномерными системами, можно предположить, что поток системы КдФ должен быть ограничен (в некотором смысле) бесконечномерным тором. Кроме того, в великолепной работе Захарова и Фаддеева [23] было установлено, что каноническое преобразование гамильтониана к переменным действие-угол может быть проведено в терминах ОПР.

7.6.в. Гамильтонова структура нелинейного уравнения Шредингера

Можно показать, что все солитонные уравнения, рассмотренные в этой главе, являются гамильтоновыми системами с соответствующими скобками Пуассона (исходное ограничение на интервал ( на самом деле может быть снято). В завершении нашего обсуждения рассмотрим случай нелинейного уравнения Шрёдингера (7.5.26), которое запишем в виде

где . В этом случае гамильтониан описывается выражением

а уравнения (7.6.28) принимают каноническую форму