8.2.в. Пси-ряд

Вернемся к уравнению (8.2.12). На основании анализа ведущего члена и резонансов мы уже знаем, что в особой точке решение ведет себя как полюс первого порядка, а резонансы возникают при Непосредственная подстановка (8.2.8) в (8.2.12) приводит к рекуррентным соотношениям

Отсюда, с учетом того, что находим:

Последнее из этих соотношений задает условие совместности, обеспечивающее произвольность Оно выполняется только если

Если это условие не выполняется, произвольность можно восстановить, модифицировав подстановку (8.2.8). Такое модифицированное разложение,

приводит к тем же результатам при и 3; однако при (что соответствует получаем

Таким образом, если положить то параметр снова становится произвольным. Понятно, что дополнительный член в (8.2.23) приводит к появлению различных степеней и комбинаций членов, содержащих Для того, чтобы получить самосогласованное разложение, в котором все эти дополнительные члены скомпенсированы, ряд (8.2.23) необходимо обобщить в виде

Полученный ряд известен как (логарифмический) пси-ряд. Он является локальным представлением общего решения уравнения (8.2.12) в окрестности подвижной особенности при В этом случае произвольными параметрами служат Как следует из (8.2.24), особенность теперь представляет собой не подвижный полюс, а подвижную логарифмическую точку ветвления. Очевидно, что уравнение (8.2.12) обладает свойством Пенлеве только если

Существуют также другие разновидности пси-ряда. Предположим, что имеется о. д. у. второго порядка с ведущим порядком разложения, например, причем резонанс соответствует некоторой иррациональной степени скажем, В этом случае разложение имеет вид

где Ряды (8.2.24) и (8.2.25) указывают на то, что решения соответствующих уравнений имеют очень сложную многолистную структуру в комплексной плоскости. Но оказывается, что несмотря на это можно провести подробный анализ этих рядов и существенно продвинуться в понимании природы решений (см. раздел 8.3.д).