2.5. Интегрируемые гамильтонианы
В случае систем с одной степенью свободы решение, по-видимому, может быть найдено всегда — либо с помощью методов, обсуждавшихся в главе 1, либо с использованием уравнения Гамильтона-Якоби, как это было описано в предыдущем разделе. Перейдем теперь к обсуждению проблем, возникающих в случае систем с большим числом степеней свободы.
2.5.а. Сепарабельные системы
Если имеется 
степеней свободы, уравнение Гамильтона-Якоби (2.4.2) в общем случае решено быть не может. Исключение составляют сепарабельные системы, для которых производящая функция может быть представлена в виде суммы 
слагаемых, каждое из которых зависит только от одной координаты,
Относительно простой класс, для которого такое представление безусловно справедливо, образуют системы, гамильтонианы которых сами являются суммами 
независимых слагаемых вида
(например, система 
несвязанных осцилляторов). В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби приобретает простой вид:
где а связаны соотношением 
значение преобразованного гамильтониана Н. В большинстве случаев гамильтониан не может быть записан в таком удобном виде как (2.5.2), но при этом не исключено, что разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби может быть осуществлено в некоторой другой (ортогональной) системе координат. Некоторые примеры таких сепарабельных систем координат приведены в книге Ландау и Лифшица [4].
Предположим, что представление (2.5.1) все-таки возможно и что соотношение
указывает на то, что каждая переменная 
зависит от единственной переменной 
Если, к тому же, движение периодично по каждой из 
(например, колебания (или вращение) по каждой из степеней свободы), то можно ввести набор переменных действия
где 
замкнутый путь, отвечающий полному циклу колебания. После того, как получены величины 
(и их взаимосвязь с 
их можно подставить в выражение для 5, и воспользоваться вторым соотношением для производящей функции
где 
угловые переменные, сопряженные 
Преобразованному гамильтониану 
соответствуют канонические уравнения
где 
частота, отвечающая каждой степени свободы. Эти уравнения легко интегрируются; в результате получаем:
где 
некоторые произвольные постоянные («сдвиги фазы»). Отметим, что набор величин 
выступает в роли 
постоянных интегрирования, которые неизбежно возникают при интегрировании системы 
уравнений первого порядка. Но при этом 
образуют довольно специальный набор постоянных — после того, как они найдены, симплектическая структура гамильтониана позволяет легко получить другой набор.
