4.2.д. Стандартное отображение

Наиболее изученным является отображение, которое получается при введении функции потенциальной энергии

в уравнения (4.2.21). Посредством этого получаем уравнения движения:

где положили При изучении этого отображения в качестве обычно выбираются периодически изменяющиеся переменные с периодом единица; при этом отображение ограничивается единичным тором, и мы можем переписать (4.2.26) в виде

Рис. 4.11. Типичная фазовая плоскость стандартного отображения при к — 0.97. (Воспроизводится, с разрешения, из [24])

Это отображение Тейлора-Чирикова или «стандартное» отображение; второе название связано с его широким распространением в различных теоретических и практических задачах. Типичная фазовая плоскость при показана на рис. 4.11. Вновь мы видим замечательно богатую структуру с изящным взаимопроникновением регулярного и хаотического движения. Читатель может также отметить, что некоторые из инвариантных кривых (торов), простирающихся поперек фазовой плоскости, кажутся пронизанными небольшими отверстиями.

Это не численная ошибка, а напротив, проявление того факта, что инвариантные кривые представляют собой не настоящие торы, а так называемые канторы. Термин был введен для того, чтобы подчеркнуть предполагаемую взаимосвязь со структурой типа канторова множества. Эти интереснейшие понятия выходят за рамки настоящих лекций, хотя к обсуждению понятия канторова множества применительно к динамическим системам мы еще вернемся в следующей главе.