8.4.б. Примеры свойства Пенлеве для у. ч. п.

В качестве простой иллюстрации обсуждаемого метода рассмотрим уравнение Бюргерса,

Хотя это уравнение и не обладает солитонными решениями, его можно рассматривать как «интегрируемое» в силу того, что оно может быть точно линеаризовано (и тем самым решено) с помощью преобразования Хопфа-Коле. Анализ ведущего члена проводим, полагая

и уравновешивая наиболее сингулярные члены Это приводит к

Резонансы также нетрудно найти, положив

что дает . Первый из этих резонансов соответствует произвольности самой функции Далее мы должны выяснить пригодность подстановки

Для этого выводим рекуррентные соотношения для и проверяем, произвольна ли функция . Так как являются функциями мы можем записать соотношения

Рекуррентные соотношения имеют вид

Отсюда находим

С учетом (8.4.156) условие совместности (8.4.15в) удовлетворяется тождественно, и тем самым произвольность доказана. Таким образом, обобщенный ряд Лорана (8.4.13) действительно служит «локальным» представлением общего решения уравнения Бюргерса вблизи подвижного сингулярного многообразия Более важным примером является уравнение КдФ

В этом случае анализ ведущего члена дает из анализа резонансов получаем и 6. Рекуррентные соотношения становятся более сложными, и проверку на свойство Пенлеве целесообразно «упростить», положив При этом рекуррентные соотношения приобретают гораздо более простой вид

Отсюда находим

Таким образом, разложение

является представлением общего решения, и мы можем говорить, что уравнение КдФ также обладает свойством Пенлеве.

В случае уравнения более высокого порядка,

имеют место два различных типа поведения ведущего члена, а именно: . В первом случае имеются резонансы при , и он соответствует общему решению, тогда как второй случай соответствует особому решению с резонансами при . Можно показать, что обе ветви имеют однозначные разложения (вида (8.4.18)), и уравнение снова обладает свойством Пенлеве.