3.4.в. Другие аспекты КАМ-теоремы

КАМ-теорема требует также, чтобы возмущение было «достаточно мало». Однако до сих пор не существует точной общей оценки этой степени малости. Первоначальные оценки составляли порядка (произвольных единиц!). С этой точки зрения существенно, что теорема доказывает существование торов при (пусть даже очень малом) возмущении. Численные эксперименты указывают на сохранение торов при возмущениях, значительно превосходящих указываемые теорией. Отметим также, что не столь уж необходима и аналитичность гамильтониана (т. е. требование Мозеровский вариант КАМ-теоремы требует существования только первых 333 производных! Последующие работы показали, что на самом деле это число меньше.

КАМ-теорема ничего не говорит о судьбе «рациональных» торов, т.е. торов, которые при возмущении в определенном смысле «разрушаются». Именно эти разрушающиеся торы порождают «зародыши» хаотического поведения, наблюдаемого в неинтегрируемых системах. Каким образом это происходит, мы обсудим в главе 4.