4.3.в. Теорема Пуанкаре-Биркгофа о неподвижной точке

Теперь мы готовы приступить к достаточно детальному обсуждению фундаментального вопроса о судьбе торов с рациональными отношениями частот (или кривых с рациональным числом вращения) при (малом) возмущении. К этой проблеме целесообразно подойти с точки зрения отображений поворота, которое мы представили в виде (раздел 4.2), выявляющем взаимосвязь с гамильтонианами, имеющими две степени свободы. Вновь привлекая представление о (трансверсальном) пересечении семейства торов, мы можем представить невозмущенное отображение поворота в виде

где в случае двумерных торов (Отмеченные штрихом переменные соответствуют итерации отображения, не отмеченные -той итерации.) КАМ-теорема

утверждает, что при достаточно малом возмущении в случае отображения

«большинство» инвариантных кривых сохраняется, если удовлетворено условие невырожденности

Здесь подразумевается, что «большинство» не содержит кривых с рациональным числом вращения

Мы можем использовать эти отображения для детального изучения судьбы рациональных кривых под действием возмущения. Рассмотрим две кривые и лежащие по обе стороны кривой с рациональным числом вращения как схематически показано на рис. Предположим также, что монотонно возрастает с ростом Если отображение мы обозначим через Т:

то каждая точка кривой будет неподвижной точкой для поскольку

Таким образом, относительно отображение поворачивает против, по часовой стрелке.

Рис. 4.14. (а) Инвариантные кривые невозмущенного отображения поворота с числами вращения для для для Результат применения к этим кривым возмущенного отображения В силу того, что относительный поворот сохраняется, между ними имеются точки (X), угловая координата которых не меняются. Кривая между и представляет собой кривую, образованную такими точками

Рассмотрим теперь слабо возмущенное отображение Те. Согласно КАМ-теореме сохраняются, хотя и в слегка искаженном виде (скажем, Эти кривые являются инвариантными кривыми Те:

Более того, мы предположим, что достаточно мало для того, чтобы относительные повороты сохранялись под действием Если это так, то между и должна быть единственная точка, угловые координаты которой сохраняются под действием Действительно, на каждом из радиусов (проведенных из центра) должна лежать одна такая точка, и мы можем нарисовать кривую образованную этими точками (рис. 4.14(6)). R не является инвариантной кривой Т, хотя и должна содержать неподвижные точки неподвижной точки должны сохраняться и «угол», и «радиус» — тогда как мы имеем кривую, на которой сохраняются только углы). Это можно продемонстрировать, подвергнув действию отображения

Новая кривая будет пересекать в четном числе точек (это следует из простых геометрических соображений), которые и представляют собой неподвижные точки (см. рис. 4.15 (а)). (Мы исключили из рассмотрения все точки касания которые не характеризуют общую ситуацию). Это и есть знаменитая теорема о неподвижной точке Пуанкаре—Биркгофа. Она утверждает, что в результате возмущения рациональной кривой с числом вращения (для которой в невозмущенной системе каждая точка представляет собой неподвижную точку сохраняется лишь четное число неподвижных точек. (Как вскоре мы увидим, при этом устойчивые и неустойчивые точки чередуются). Кратность числа таких точек обосновать несложно. Для этого рассмотрим одну из (четного числа) неподвижных точек найденных как пересечение По определению это неподвижная точка отображения Те порождает траекторию Но каждая точка этой замкнутой траектории является также неподвижной точкой Следовательно, имеется неподвижных точек, связанных с каждой точкой пересечения а всего неподвижных точек.

Рис. 4.15. (а) Преобразование кривой в новую кривую Буквой отмечены точки пересечения этих двух кривых, (б) В соответствии с «линиями потока» гиперболические и эллиптические неподвижные точки чередуются

Возвращаясь к рис. 4.15, можно убедиться, следуя «линиям потока», в том, что имеет место чередование эллиптических и гиперболических неподвижных точек. Таким образом, в результате возмущения рациональной кривой с сохраняется неподвижных точек отображения они образуют чередующуюся последовательность из эллиптических и гиперболических точек. В окрестности

каждой эллиптической неподвижной точки мы в свою очередь обнаруживаем семейство инвариантных кривых. Это семейство само подчиняется КАМ-теореме (см. раздел 3.5.г) и, таким образом, его рациональные члены будут разрушаться в соответствии с теоремой о неподвижной точке Пуанкаре-Биркгофа. Такая же структура должна затем воспроизвестись в окрестности соответствующей подпоследовательности эллиптических неподвижных точек и т.д. Таким образом, в окрестности каждой эллиптической неподвижной точки одновременно имеют место и теорема о неподвижной точке Пуанкаре-Биркгофа, и КАМ-теорема, в результате чего возникает замечательная структура, воспроизводящая саму себя при любом изменении масштаба, что схематически изображено на рис. 4.16.

Рис. 4.16. Последовательное применение КАМ-теоремы и теоремы о неподвижной точке Пуанкаре-Биркгофа приводит к самовоспроизводящейся структуре неподвижных точек означает гиперболические неподвижные точки)