2.4.а. Уравнение Гамильтона-Якоби в случае одной степени свободы

В случае системы с одной степенью свободы уравнение Гамильтона-Якоби решается достаточно просто. Старый гамильтониан представляет собой функцию от единственной пары канонических переменных а «новый» зависит от одного (постоянного) канонического импульса В случае не зависящих от времени задач используемый прием состоит в том, что постоянная интегрирования а полагается равной самому гамильтониану: (разумеется, а представляет собой энергию системы). Уравнение Гамильтона-Якоби приобретает в этом случае вид

с соотношениями для производящей функции

Поскольку преобразование каноническое, уравнения движения для преобразованного гамильтониана имеют вид

Они легко интегрируются. В результате получаем определению) и

Отметим, что для нашей системы с одной степенью свободы мы получили два интеграла: нетривиальную постоянную движения а и тривиальную постоянную интегрирования Объединение (2.4.7) с (2.4.66) и (2.4.4) дает

В случае простого движения частицы в потенциальном поле гамильтониан имеет вид (см. (2.2.7))

В этом случае, с учетом получаем

и, таким образом, (2.4.8) сводится к квадратуре:

Поскольку в случае консервативных систем постоянная интегрирования а представляет собой не что иное как механическую энергию мы приходим в конце концов к квадратуре (1.1.9) главы 1. В результате может создаться впечатление, что мы затратили массу усилий на разработку изощренного формализма, приводящего к результату, который был нам известен уже на с. 7! Однако, как мы увидим ниже, проделанные выкладки создают основу для отыскания особенно полезного типа канонических переменных — переменных действие—угол, которые играют важную роль при описании свойств систем с большим числом степеней свободы.