7.3.в. Прямая задача рассеяния

В зависимости от конкретного вида потенциала эта задача может допускать связанные состояния. Уравнение Шрёдингера (7.3.4) в этом случае определяет набор дискретных собственных значений отвечающих связанным состояниям с «отрицательной энергией», а также соответствующие собственные функции

Для квадратично интегрируемых собственных функций связанных состояний должно выполняться условие нормировки

Нормировочная константа обеспечивающая выполнение (7.3.12), определяется соотношением

Это следует из предположения, что достаточно быстро обращается в ноль при так что (7.3.11) сводится к фщхх — Эквивалентным также является определение посредством соотношения

Множество соответственных значений называют спектром связанных состояний.

При положительных значениях энергии уравнение Шрёдингера для определяет непрерывный спектр, и мы полагаем Хорошо известно, что квантовые волновые функции могут претерпевать отражение над потенциальным барьером. Поэтому асимптотическое выражение для в пределе имеет вид

где первое слагаемое в правой части соответствует падающей волне, а второе — отраженной волне с коэффициентом отражения . В пределе имеем

что соответствует прошедшей волне с коэффициентом прохождения