Глава 6. Хаос и интегрируемость в квазиклассичсской механике

6.1. Взаимосвязь квантовой и классической механики

Изучение закономерностей перехода от квантовой механики к классической всегда представляло существенный интерес, хотя принципы, лежащие в основе квантовой механики, такие, как принцип неопределенностей Гейзенберга, не имеют аналогов в классической механике. Как будет, в частности, показано ниже, при решении квантовых уравнений движения, т.е. уравнений Шрёдингера, для частиц с большим импульсом и, следовательно, малой длиной волны де Бройля, движение соответствующего волнового пакета лишь немного отличается от движения, которое может быть найдено при решении соответствующих классических уравнений движения. (Упомянем также, что этот предельный переход аналогичен переходу от волновой оптики к геометрической в пределе малых длин волн.)

6.1.а. Квазиклассический предел для задач, зависящих от времени

Рассмотрим частицу с массой то, движущуюся в пространстве под действием некоторого (гладкого) потенциала где Классический гамильтониан, очевидно, имеет вид

а соответствующее зависящее от времени уравнение Шрёдингера —

где постоянная Планка (деленная на волновая функция, оператор Гамильтона, полученный обычным образом, путем замены в (6.1.1):

здесь оператор Лапласа. Подстановка

(подчеркнем, что на данном этапе она представляет собой анзац, а не приближение) в (6.1.2) дает

Если последний член здесь в определенном смысле пренебрежимо мал, уравнение (6.1.5) сводится к выражению

которое в точности представляет собой классическое уравнение Гамильтона-Якоби, зависящее от времени, и (в данном случае являющееся приближением к S в (6.1.4)) определяется как интеграл действия (ср. (2.1.2))

Пренебрежение последним членом в (6.1.5) можно рассматривать — формально — как предел Разумеется, является фундаментальной постоянной, и, говоря о пределе, мы на самом деле подразумеваем ситуацию, когда величина, имеющая одинаковую размерность с а именно действие, становится большой по сравнению с Переход от (6.1.2) к (6.1.6) через (6.1.4) может на первый взгляд показаться достаточно прозрачным. На самом деле рассматриваемый предел является весьма тонким; мы обсудим это в данной главе. Действительно, сказанное должно быть понятно уже из (6.1.4), поскольку предел приводит к существенно более быстрым осцилляциям волновой функции, т. е. является сильно сингулярным (см. краткое обсуждение сингулярной теории возмущений в главе 3). Совершенно ошибочно полагать, что квантовомеханические величины можно каким-либо образом представить как классические величины плюс поправки, разложенные в ряд по степеням